Media Campionaria valore Atteso e funzione di autocorrelazione
Salve a tutti ragazzi, con riferimento ad funzione y(t) di cui conosco il valori assunti negli istanti da 1 ad N, vorrei alcuni chiarimenti su delle definizioni base di statistica.
La media campionaria è definita come : $1/N sum_( t in [1,N]) y(t)$
Il valore atteso invece è definito come: $ 1/N sum_( t in [1,N]) y(t)P(y(t))$
Se ho ben capito, posso dire che il valor medio campionario tende asintoticamente (cioè per N sufficientemente elevato) al valore atteso. Questo è sempre vero o richiede l'ipotesi che il y(t) sia un processo stazionario?
Ora io ho una matrice i cui elementi sono del tipo: $1/N sum_( t in [1,N]) y^2(t-1) = 1/N sum_( t in [1,N]) y(t-1)y(t-1) $ che, per quanto detto prima, è la media campionaria della variabile aleatoria $y(t-1)y(t-1) = y^2(t-1)$ .
Le funzione di autocorrelazione per un processo stazionario (discreto, altrimenti avrei l'integrale?) è :$ gamma_(yy)(tau) = 1/N sum_( t in [1,N]) y(t)y(t+tau ) $. A questo punto nel mio caso ho la seguente situazione:
$ 1/N sum_( t in [1,N]) y^2(t-1) = E[y^2(t-1)] = gamma_(yy)(tau)$ con $tau=0$ quell'elemento della matrice è proprio la funzione di autocorrelazione.
Questa funzione di autocorrelazione esprime la relazione tra il campione y(t) all'istante $t$ e il campione all'istante $t + tau$. Cioè mi dice come varia un campione se l'altro cambia? Non mi è chiaro questo concetto.
Inoltre avendo nel mio caso la situazione in cui $tau = 0$ l'autocorrelazione mi dice la relazione tra il campione e se stesso? Credo mi sfugga proprio il concetto di correlazione tra campioni.
In una situazione del tipo: $1/N sum_( t in [1,N]) y(t-1)u(t-1)$ questa quantità equivale alla crosscorrelazione che è fondamentalmente la stessa cosa, ma l'unica differenza è che esprime la relazione tra il (t-1)esimo campione del processo y(t) e il (t-1)esimo campione del processo u(t) ?
Spero di essermi spiegato correttamente. Nello specifico vorrei capire bene il concetto di correlazione e sapere se l'uguaglianza media campionaria = valore atteso = autocorrelazione (in questo caso) è corretta. Grazie a chiunque voglia darmi una mano
La media campionaria è definita come : $1/N sum_( t in [1,N]) y(t)$
Il valore atteso invece è definito come: $ 1/N sum_( t in [1,N]) y(t)P(y(t))$
Se ho ben capito, posso dire che il valor medio campionario tende asintoticamente (cioè per N sufficientemente elevato) al valore atteso. Questo è sempre vero o richiede l'ipotesi che il y(t) sia un processo stazionario?
Ora io ho una matrice i cui elementi sono del tipo: $1/N sum_( t in [1,N]) y^2(t-1) = 1/N sum_( t in [1,N]) y(t-1)y(t-1) $ che, per quanto detto prima, è la media campionaria della variabile aleatoria $y(t-1)y(t-1) = y^2(t-1)$ .
Le funzione di autocorrelazione per un processo stazionario (discreto, altrimenti avrei l'integrale?) è :$ gamma_(yy)(tau) = 1/N sum_( t in [1,N]) y(t)y(t+tau ) $. A questo punto nel mio caso ho la seguente situazione:
$ 1/N sum_( t in [1,N]) y^2(t-1) = E[y^2(t-1)] = gamma_(yy)(tau)$ con $tau=0$ quell'elemento della matrice è proprio la funzione di autocorrelazione.
Questa funzione di autocorrelazione esprime la relazione tra il campione y(t) all'istante $t$ e il campione all'istante $t + tau$. Cioè mi dice come varia un campione se l'altro cambia? Non mi è chiaro questo concetto.
Inoltre avendo nel mio caso la situazione in cui $tau = 0$ l'autocorrelazione mi dice la relazione tra il campione e se stesso? Credo mi sfugga proprio il concetto di correlazione tra campioni.
In una situazione del tipo: $1/N sum_( t in [1,N]) y(t-1)u(t-1)$ questa quantità equivale alla crosscorrelazione che è fondamentalmente la stessa cosa, ma l'unica differenza è che esprime la relazione tra il (t-1)esimo campione del processo y(t) e il (t-1)esimo campione del processo u(t) ?
Spero di essermi spiegato correttamente. Nello specifico vorrei capire bene il concetto di correlazione e sapere se l'uguaglianza media campionaria = valore atteso = autocorrelazione (in questo caso) è corretta. Grazie a chiunque voglia darmi una mano
Risposte
Allora per la tua prima domanda, il valor medio campionario tende al valore atteso del processo quando esso é stazionario. Ti consiglio di guardare la differenza tra legge dei grandi numeri e teorema ergodico.
La prima riguarda un campione generico mentre il teorema ergodico stabilisce la relazione tra media campionaria e valore atteso nel caso di processi stocastici $y(t)$.
Bisogna fare attenzione a distinguere media temporale da media spaziale, nel caso di processi tu puoi prendere lo stesso processo e mediare rispetto al tempo oppure prendi realizzazioni di diversi processi allo stesso istante di tempo $t^*$ e mediare nello "spazio". Il teorema ergodico in sostanza dice che, soddisfando qualche ipotesi tra cui quella di stazionarietá, la media temporale e media spaziale coincidono asintoticamente.
Per il discorso autocorrelazione, l'autocorrelazione calcolata per $\tau = 0$ é semplicemente la varianza del processo, ipoteticamente sarebbe la correlazione tra il campione e sé stesso perché il passo che hai specificato é $0$ (nel caso di stazionarietá la varianza é uguale per ogni istante di tempo $t$ e quindi la correlazione dipende solo dalla "distanza" tra due osservazioni, $\tau$).
Per valori di $\tau \ne 0$, la funzione di autocorrelazione dá una stima della correlazione tra due campioni distanti $\tau$ nel processo.
La prima riguarda un campione generico mentre il teorema ergodico stabilisce la relazione tra media campionaria e valore atteso nel caso di processi stocastici $y(t)$.
Bisogna fare attenzione a distinguere media temporale da media spaziale, nel caso di processi tu puoi prendere lo stesso processo e mediare rispetto al tempo oppure prendi realizzazioni di diversi processi allo stesso istante di tempo $t^*$ e mediare nello "spazio". Il teorema ergodico in sostanza dice che, soddisfando qualche ipotesi tra cui quella di stazionarietá, la media temporale e media spaziale coincidono asintoticamente.
Per il discorso autocorrelazione, l'autocorrelazione calcolata per $\tau = 0$ é semplicemente la varianza del processo, ipoteticamente sarebbe la correlazione tra il campione e sé stesso perché il passo che hai specificato é $0$ (nel caso di stazionarietá la varianza é uguale per ogni istante di tempo $t$ e quindi la correlazione dipende solo dalla "distanza" tra due osservazioni, $\tau$).
Per valori di $\tau \ne 0$, la funzione di autocorrelazione dá una stima della correlazione tra due campioni distanti $\tau$ nel processo.
Grazie mille per la spiegazione e per i suggerimenti. Approfondirò il concetti che mi hai accennato.
Grazie ancora!
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