Martingales
Ho una questione da chiarire sull'idea basilare dei martingales.
Per definizione un martingale rispetto a una filtrazione $F = (F_t)_(t in I)$ è un processo stocastico $X = (X_t)_(t in I)$ per cui vale
1) ogni $X_t$ è $F_t$-misurabile, per tutte le $t in I$.
2) $X_t in L^1$ per tutte le $t in I$.
3) $E[ X_s | F_t] = X_t$, per tutte le $s ge t$, $s, t in I$.
La terza proprietà, già mi crea problemi. Chi mi sa dire come interpretarla intuitivamente?
Ed intuitivamente, chi mi sa spiegare come mai un supermartingale (o martingale) $ge 0$ dovrebbe avere un limite finito (teorema di Doob)?
Per definizione un martingale rispetto a una filtrazione $F = (F_t)_(t in I)$ è un processo stocastico $X = (X_t)_(t in I)$ per cui vale
1) ogni $X_t$ è $F_t$-misurabile, per tutte le $t in I$.
2) $X_t in L^1$ per tutte le $t in I$.
3) $E[ X_s | F_t] = X_t$, per tutte le $s ge t$, $s, t in I$.
La terza proprietà, già mi crea problemi. Chi mi sa dire come interpretarla intuitivamente?
Ed intuitivamente, chi mi sa spiegare come mai un supermartingale (o martingale) $ge 0$ dovrebbe avere un limite finito (teorema di Doob)?
Risposte
"pat87":
La terza proprietà, già mi crea problemi. Chi mi sa dire come interpretarla intuitivamente?
E' la proprietà di martingala (a proposito, è un sostantivo femminile
); puoi scriverla anche così:$E[X_s|"tutte le osservazioni fino a "X_t " con "t<=s]=X_t$.
Ovvero: supponi di avere a disposizione le osservazioni del processo fino all' "istante" $t<=s$ (se $i=NN$ avrai $X_1$, $X_2$, $ldots$, $X_t$) e di voler conoscere il valore atteso del processo stesso all' "istante" $s>=t$, condizionato da tutte queste osservazioni. Se il processo è una martingala, allora tale valore atteso coincide proprio con $X_t$, nonchè l'ultima delle suddette osservazioni.
Ah ok non sapevo che avesse un sostantivo femminile in italiano
Ok fin lì ci sono, è la definizione di martingala. Ma mi pare soltanto che hai scritto la definizione in una maniera estesa. Cosa vuol dire effettivamente per il processo? Non si può prevedere l'andamento futuro dato un numero insufficiente di informazioni?
Ok fin lì ci sono, è la definizione di martingala. Ma mi pare soltanto che hai scritto la definizione in una maniera estesa. Cosa vuol dire effettivamente per il processo? Non si può prevedere l'andamento futuro dato un numero insufficiente di informazioni?
Sinceramente non so come darti una migliore "interpretazione" della proprietà di martingala... In realtà neanche del teorema di Doob: è così e basta! 
Se vuoi avere un'idea sommaria del perchè è così temo che ti debba leggere la dimostrazione (che non conosco).
Se vuoi avere un'idea sommaria del perchè è così temo che ti debba leggere la dimostrazione (che non conosco).
"pat87":
Ah ok non sapevo che avesse un sostantivo femminile in italiano
Ok fin lì ci sono, è la definizione di martingala. Ma mi pare soltanto che hai scritto la definizione in una maniera estesa. Cosa vuol dire effettivamente per il processo? Non si può prevedere l'andamento futuro dato un numero insufficiente di informazioni?
La prima cosa che ti dice è che il processo ha media costante: se indichi con $I_t$ la filtrazione (che può essere vista come le osservazioni che hai fino al tempo t), allora hai che
$E(X_s)=E[E(X_s|I_t)]=E(X_t)$
Per l'altra domanda, in generale risulta difficile prevedere l'andamento di un processo se hai poche osservazioni: questo perché solitamente i parametri che regolano il tuo processo non sono noti, quindi per stimarli devi avere un numero sufficientemente alto di osservazioni. Inoltre devi pure scegliere il previsore: spesso si prende quello che minimizza l'errore quadratico medio e come previsore viene proprio la media condizionata.
Ciao
Più che altro mi facevo questa domanda perché il concetto di martingala viene usato per dimostrare il teorema di Radon Nikodym (!!) e quello del limite centrale, ovvero teoremi importantissimi.
Volevo soltanto sapere cosa gli è passato per la testa a quello che ha inventato questo concetto, "perché" una martingala deve avere queste proprietà.
Grazie mille comunque delle risposte
Volevo soltanto sapere cosa gli è passato per la testa a quello che ha inventato questo concetto, "perché" una martingala deve avere queste proprietà.
Grazie mille comunque delle risposte
Io direi perché è una definizione: cioè la martingala è stata definita in quel modo che avete citato prima. Cmq ti posso assicurare che il concetto di martingala lo troverai spesso, anche in ambito più strettamente econometrico.
Ciao
Ciao
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