Martingale: tempo di prima uscita
Buongiorno a tutti, ho da poco iniziato ad affrontare l'argomento delle Martingale e mi ritrovo ad affrontare il seguente problema:
Dato l'alfabeto di 26 lettere, calcolare il valore atteso della variabile aleatoria T[size=85]ABRACADABRA[/size], cioè il valore atteso del tempo di prima uscita della stringa "ABRACADABRA".
In letteratura ho trovato tantissime dimostrazioni che utilizzano la martingala dei giocatori sequenziali che scommettono con un capitale iniziale di 1$ sull'uscita della lettera della sequenza:
1) Il primo giocatore entra al tempo t=1 scommette 1 sulla lettera "A", se esce la lettera su cui ha puntato vince 26 e punta tutto sulla seconda lettera ("B"), altrimenti perde tutto e finisce di giocare.
2) Al tempo t=2 entra il secondo giocatore che scommette 1 sulla prima lettera della sequenza "A", e così via
Si dimostra quindi che \(\displaystyle \mathbb{E} \)[T[size=85]ABRACADABRA[/size]] = [tex]26^{11} + 26^{4} + 26[/tex]
Vorrei poter dimostrare la stessa cosa utilizzando le funzioni indicatrici: cioè per esempio restringendo il tutto sulla sottostringa T[size=85]AB[/size] dovrei calcolare \(\displaystyle \mathbb{E} \)[T[size=85]AB[/size]] condizionando sulle funzioni indicatrici :
1) \(\displaystyle \mathbb{1} \)[size=85]A[/size][size=50]1[/size] che vale 1 se esce la lettera "A" in prima posizione ( quindi con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=1/26 ) e vale 0 altrimenti ( con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=25/26 ).
2) \(\displaystyle \mathbb{1} \)[size=85]B[/size][size=50]2[/size] che vale 1 se esce la lettera "B" in seconda posizione ( quindi con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=1/26 ) e vale 0 altrimenti ( con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=25/26 ).
Intuitivamente ho capito che si tratta quindi di un doppio condizionamento, ma non riesco a formalizzarlo. Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie mille e buon week end a tutti
Dato l'alfabeto di 26 lettere, calcolare il valore atteso della variabile aleatoria T[size=85]ABRACADABRA[/size], cioè il valore atteso del tempo di prima uscita della stringa "ABRACADABRA".
In letteratura ho trovato tantissime dimostrazioni che utilizzano la martingala dei giocatori sequenziali che scommettono con un capitale iniziale di 1$ sull'uscita della lettera della sequenza:
1) Il primo giocatore entra al tempo t=1 scommette 1 sulla lettera "A", se esce la lettera su cui ha puntato vince 26 e punta tutto sulla seconda lettera ("B"), altrimenti perde tutto e finisce di giocare.
2) Al tempo t=2 entra il secondo giocatore che scommette 1 sulla prima lettera della sequenza "A", e così via
Si dimostra quindi che \(\displaystyle \mathbb{E} \)[T[size=85]ABRACADABRA[/size]] = [tex]26^{11} + 26^{4} + 26[/tex]
Vorrei poter dimostrare la stessa cosa utilizzando le funzioni indicatrici: cioè per esempio restringendo il tutto sulla sottostringa T[size=85]AB[/size] dovrei calcolare \(\displaystyle \mathbb{E} \)[T[size=85]AB[/size]] condizionando sulle funzioni indicatrici :
1) \(\displaystyle \mathbb{1} \)[size=85]A[/size][size=50]1[/size] che vale 1 se esce la lettera "A" in prima posizione ( quindi con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=1/26 ) e vale 0 altrimenti ( con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=25/26 ).
2) \(\displaystyle \mathbb{1} \)[size=85]B[/size][size=50]2[/size] che vale 1 se esce la lettera "B" in seconda posizione ( quindi con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=1/26 ) e vale 0 altrimenti ( con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=25/26 ).
Intuitivamente ho capito che si tratta quindi di un doppio condizionamento, ma non riesco a formalizzarlo. Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie mille e buon week end a tutti
Risposte
"VittCon":
Vorrei poter dimostrare la stessa cosa utilizzando le funzioni indicatrici: cioè per esempio restringendo il tutto sulla sottostringa T[size=85]AB[/size] dovrei calcolare \(\displaystyle \mathbb{E} \)[T[size=85]AB[/size]] condizionando sulle funzioni indicatrici :
1) \(\displaystyle \mathbb{1} \)[size=85]A[/size][size=50]1[/size] che vale 1 se esce la lettera "A" in prima posizione ( quindi con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=1/26 ) e vale 0 altrimenti ( con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=25/26 ).
2) \(\displaystyle \mathbb{1} \)[size=85]B[/size][size=50]2[/size] che vale 1 se esce la lettera "B" in seconda posizione ( quindi con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=1/26 ) e vale 0 altrimenti ( con \(\displaystyle \mathbb{P} \)=25/26 ).
Abbiamo :
T[size=85]AB[/size] = T[size=85]A[/size] + T[size=85]A$\rightarrow$B[/size]
dove T[size=85]A$\rightarrow$B[/size] è il tempo di prima uscita della stringa "AB" partendo da "A",
e
T[size=85]A$\rightarrow$B[/size] = $\mathbb{1}$[size=85]B[/size][size=50]2[/size] + $\mathbb{1}$[size=85]A[/size][size=50]2[/size](1 + T'[size=85]A$\rightarrow$B[/size]) + $\mathbb{1}$[size=85]altri[/size] (1 + T'[size=85]AB[/size])
a seconda che la prima estrazione dopo aver raggiunto A sia B, A o un'altra lettera. T'[size=85]A$\rightarrow$B[/size] è una variabile aleatoria della stessa legge di T[size=85]A$\rightarrow$B[/size] e T'[size=85]AB[/size] è una variabile aleatoria della stessa legge di T[size=85]AB[/size].
Quidi :
$\mathbb{E}$(T[size=85]AB[/size]) = $\mathbb{E}$(T[size=85]A[/size]) + $\mathbb{E}$(T[size=85]A$\rightarrow$B[/size] )
$\mathbb{E}$(T[size=85]A$\rightarrow$B[/size]) = $1/{26}$ + $1/{26}$(1 + $\mathbb{E}$(T[size=85]A$\rightarrow$B[/size])) + ${24}/{26}$(1 + $\mathbb{E}$(T[size=85]AB[/size]))
Suppongo sappia come calcolare $\mathbb{E}$(T[size=85]A[/size]) = 26.
Troverai $\mathbb{E}$(T[size=85]AB[/size]) = $26^2$ e $\mathbb{E}$(T[size=85]A$\rightarrow$B[/size]) = $25 \times 26$.
Puoi continuare così fino alla $\mathbb{E}$(T[size=85]ABRACADABRA[/size]), ma è molto lungo
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