Marginali
Ciao, altro esercizio che stavo provando a risolvere e che mi dà qualche difficoltà:
Sia (X,Y) una v.a. doppia distribuita uniformemente sul prodotto cartesiano $(0,1)x(0,1)$.
1) Calcolare medie, varianze, covarianza della variabile aleatoria (X,Y)
2) scrivere le f.d.p. marginali di (X,Y)
3) calcolare al variare di $y in (0,1)$ la speranza matematica $E(X|Y=y)$
Io ho iniziato a procedere così:
$E(X)=E(Y)=1/2$
$E(X^2)=E(Y^2)=1/3$
$E(XY)=1/4$
$Cov(X,Y)=0$
$Var(X)=Var(Y)=1/12$
Poi mi sono bloccato sulle marginali e anche il terzo punto non mi è ben chiaro. Per le marginali ho pensato che $f(x,y)=f_x(x)f_y(y)$ ma non so se sia corretto dire che $f_x(x)=f_y(y)=1$.
Consigli su come procedere?
Sia (X,Y) una v.a. doppia distribuita uniformemente sul prodotto cartesiano $(0,1)x(0,1)$.
1) Calcolare medie, varianze, covarianza della variabile aleatoria (X,Y)
2) scrivere le f.d.p. marginali di (X,Y)
3) calcolare al variare di $y in (0,1)$ la speranza matematica $E(X|Y=y)$
Io ho iniziato a procedere così:
$E(X)=E(Y)=1/2$
$E(X^2)=E(Y^2)=1/3$
$E(XY)=1/4$
$Cov(X,Y)=0$
$Var(X)=Var(Y)=1/12$
Poi mi sono bloccato sulle marginali e anche il terzo punto non mi è ben chiaro. Per le marginali ho pensato che $f(x,y)=f_x(x)f_y(y)$ ma non so se sia corretto dire che $f_x(x)=f_y(y)=1$.
Consigli su come procedere?
Risposte
"Bluff":
Poi mi sono bloccato sulle marginali e anche il terzo punto non mi è ben chiaro. Per le marginali ho pensato che $f(x,y)=f_x(x)f_y(y)$ ma non so se sia corretto dire che $f_x(x)=f_y(y)=1$.
Consigli su come procedere?
Se esiste la densità $f_{X,Y}(x,y)$ del vettore $(X,Y)$ (la densità congiunta), allora esistono le densità marginali, cioè le densità $f_X(x)$ di $X$ e $f_Y(y)$ di $Y$ che si calcolano così:
$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\ dy$
$f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\ dx$
Ti torna?
Scusate se mi intrometto ma in questo caso il valore di $f_{X,Y}$ come lo ottenete?è per caso pari ad 1?anche se di questa mia ultima affermazione ho il dubbio.
"Lory90":
Scusate se mi intrometto ma in questo caso il valore di $f_{X,Y}$ come lo ottenete?è per caso pari ad 1?anche se di questa mia ultima affermazione ho il dubbio.
Sì, 1 nel quadrato $(0,1)^2$ e $0$ fuori. Vedi che è $1$ perché l'integrale doppio della funzione su $RR^2$ deve essere $1$, e infatti:
$\int\int f_{X,Y}(x,y)\dx\ dy=\int\int I_{(0,1)\times(0,1)}(x,y)\dx\ dy=$
$=\int\int I_{(0,1)}(x)I_{(0,1)}(y)\dx\ dy=\int I_{(0,1)}(x)dx\int I_{(0,1)}(y)dy=\int_0^1 dx\int_0^1 dy=1$.
Va bene?
Grazie per la spiegazione retrocomputer. Ma allora se ho quella $f_{X,Y}$:
le mie marginali saranno
$f_X=f_Y=1$ giusto?
ed invece per quanto riguarda:
come procedo? Grazie ancora.
"retrocomputer":
$\int\int f_{X,Y}(x,y)\dx\ dy=\int\int I_{(0,1)\times(0,1)}(x,y)\dx\ dy=$
$=\int\int I_{(0,1)}(x)I_{(0,1)}(y)\dx\ dy=\int I_{(0,1)}(x)dx\int I_{(0,1)}(y)dy=\int_0^1 dx\int_0^1 dy=1$.
le mie marginali saranno
$f_X=f_Y=1$ giusto?
ed invece per quanto riguarda:
"Bluff":
calcolare al variare di $y in (0,1)$ la speranza matematica $E(X|Y=y)$
come procedo? Grazie ancora.
"Bluff":
le mie marginali saranno
$f_X=f_Y=1$ giusto?
Uguali a $1$ nell'intervallo $(0,1)$ e uguali a $0$ altrove.
ed invece per quanto riguarda:
"Bluff":
calcolare al variare di $y in (0,1)$ la speranza matematica $E(X|Y=y)$
Forse usando questa formula:
$E[X|Y=y]=\int x{f_{X,Y}(x,y)}/{f_Y(y)}\ dx$
Forse usando questa formula:
$E[X|Y=y]=\int x{f_{X,Y}(x,y)}/{f_Y(y)}\ dx$
Una curiosità ma se io fisso la $y$ la media $E[X|Y=y]$ dovrebbe venire sempre uguale ad $E(x)$ o potrebbero eventualmente essere diverse?
"Bluff":
Una curiosità ma se io fisso la $y$ la media $E[X|Y=y]$ dovrebbe venire sempre uguale ad $E(x)$ o potrebbero eventualmente essere diverse?
La speranza condizionata è una funzione, una variabile aleatoria, anzi, bisognerebbe forse dire che è una classe di variabili aleatorie... Una cosa che hanno in comune queste variabili aleatorie è il fatto di avere tutte speranza uguale alla speranza di $X$, cioè $E[E[X|Y=y]]=E[X]$.
Spero di non avere detto sciocchezze, visto che questo argomento lo conosco praticamente per sentito dire
Ciao retro ti farei una precisazione.
La media condizionata è una v.a. Ovvero $E[X|Y]$ è una v.a. la cui variabilità dipende dal comportamento della Y.
Quando scrivi $E[X|Y=y]$ questo è un numero ed la v.a. .la devi leggere al variare di y.
La media condizionata è una v.a. Ovvero $E[X|Y]$ è una v.a. la cui variabilità dipende dal comportamento della Y.
Quando scrivi $E[X|Y=y]$ questo è un numero ed la v.a. .la devi leggere al variare di y.
Piuttosto che aprire un nuovo topic, scrivo qui visto che ho trovato un esercizio simile a quello proposto da bluff.
Sia (X,Y) una v.a. doppia distribuita uniformemente nel quadriletero avente vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1).
(i) scrivere la f.d.p. della v.a. (X,Y)
(ii) calcolare la probabilità che la v.a. (X,Y) cada nel quadrilatero di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (2,1)
(iii) calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Io ho pensato di procedere in questo modo:
fatti i grafici sono partito dal punto (ii) e ho pensato che essendo il quadriletero di vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1) un trapezio, avrei che $P((X,Y) in trapezio)=1$ ma questo lo posso dividere in tre triangolini di cui due sono riempiti perfettamente dal quadrilatero del punto (ii) quindi la probabilità di ogni triangolino è di $1/3$, io ne ho due quindi $2/3$. Troppo azzardato come ragionamento?
Veniamo ai punti successivi. Per il punto (i) ho pensato che dato il quadrilatero (e qui ho veramente dubbi sulla veridicità di ciò che sto per scrivere) avrei:
$f_X=1$ per $0<=x<=2$
$f_Y=\{(1 se 1<=y<=2),(y se 0<=y<1):}$
ditemi voi che questo corretto. Ammesso che lo sia avrei quindi
$f_{X,Y}=\{(1 se 1
poi per $E(X|Y=y)$ sapendo che y varia in tutto $RR$ avrei che per $RR^-$ sarebbe nulla e altrettanto per $y<0$ e $y>1$ mentre per gli altri avrei:
-$1/y$ se $0<=x<1$
-$1$ se $1
Aspetto le vostre utilissime opinioni
Sia (X,Y) una v.a. doppia distribuita uniformemente nel quadriletero avente vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1).
(i) scrivere la f.d.p. della v.a. (X,Y)
(ii) calcolare la probabilità che la v.a. (X,Y) cada nel quadrilatero di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (2,1)
(iii) calcolare al variare di $yinRR$ la speranza matematica condizionata $E(X|Y=y)$
Io ho pensato di procedere in questo modo:
fatti i grafici sono partito dal punto (ii) e ho pensato che essendo il quadriletero di vertici (0,0), (2,0), (1,1), (2,1) un trapezio, avrei che $P((X,Y) in trapezio)=1$ ma questo lo posso dividere in tre triangolini di cui due sono riempiti perfettamente dal quadrilatero del punto (ii) quindi la probabilità di ogni triangolino è di $1/3$, io ne ho due quindi $2/3$. Troppo azzardato come ragionamento?
Veniamo ai punti successivi. Per il punto (i) ho pensato che dato il quadrilatero (e qui ho veramente dubbi sulla veridicità di ciò che sto per scrivere) avrei:
$f_X=1$ per $0<=x<=2$
$f_Y=\{(1 se 1<=y<=2),(y se 0<=y<1):}$
ditemi voi che questo corretto. Ammesso che lo sia avrei quindi
$f_{X,Y}=\{(1 se 1
poi per $E(X|Y=y)$ sapendo che y varia in tutto $RR$ avrei che per $RR^-$ sarebbe nulla e altrettanto per $y<0$ e $y>1$ mentre per gli altri avrei:
-$1/y$ se $0<=x<1$
-$1$ se $1
Aspetto le vostre utilissime opinioni
Non so magari dovresti aprire un nuovo trh giusto solo per lasciare sgombero questo se Bluff volesse ancora chiedere qualcosa e non volesse vedersi incasinato il suo.
Comunque il ragionamento sul ii è corretto ma dovresti anche osservare che i tre triangoli hanno area uguale e dunque puoi fare quel ragionamento di proporzionalità.
Il resto non è corretto, infatti non devi partire dalle marginali per ottenere la densità congiunta ma devi fare il contrario. Inoltre la congiunta è uniforme sul trapezio e dunque la densità sarà costante la dentro e non dipenderà da x e y.
Comunque il ragionamento sul ii è corretto ma dovresti anche osservare che i tre triangoli hanno area uguale e dunque puoi fare quel ragionamento di proporzionalità.
Il resto non è corretto, infatti non devi partire dalle marginali per ottenere la densità congiunta ma devi fare il contrario. Inoltre la congiunta è uniforme sul trapezio e dunque la densità sarà costante la dentro e non dipenderà da x e y.
"DajeForte":
Ciao retro ti farei una precisazione.
La media condizionata è una v.a. Ovvero $E[X|Y]$ è una v.a. la cui variabilità dipende dal comportamento della Y.
Quando scrivi $E[X|Y=y]$ questo è un numero ed la v.a. .la devi leggere al variare di y.
Giusto, la $Y$ nella notazione $E[X|Y]$ per la variabile aleatoria deve essere intesa come "la $\sigma$-algebra generata da $Y$", OK?
Penso di essermi confuso con il caso discreto (dunque non questo caso), in cui mi pare di ricordare l'uso della notazione $E[X|Y=y]$ anche per la variabile aleatoria, può darsi? Ripensandoci, sembra un uso azzardato...
Si la media condizionata è definita rispetto ad una sigma algebra, e quindi la tua prima osservazione e correttissima. Si in molto casi discreti si usa quella scrittura che aiuta anche a capire.
Ad esempio se Y assume solo due valori hai che
$E[X|Y](omega)= E[X|Y=y_1] 1_{Y(omega)=y_1} (omega) quad + quad E[X|Y=y_2] 1_{Y(omega)=y_2} (omega) $
Ad esempio se Y assume solo due valori hai che
$E[X|Y](omega)= E[X|Y=y_1] 1_{Y(omega)=y_1} (omega) quad + quad E[X|Y=y_2] 1_{Y(omega)=y_2} (omega) $
"DajeForte":
Il resto non è corretto, infatti non devi partire dalle marginali per ottenere la densità congiunta ma devi fare il contrario. Inoltre la congiunta è uniforme sul trapezio e dunque la densità sarà costante la dentro e non dipenderà da x e y.
Ma allora se è uniforme nel trapezio, anche in questo caso come nel caso dell'esercizio di Bluff avrei $f_{X,Y}=1$ dentro il trapezio e $0$ fuori?
E quindi le marginali verrebbero $f_X=2$ ed $f_Y=1$?
Scusami ma non riesco a capirlo proprio.
Vedi lory che così diventa una carneficina. Apri un nuovo trh facendo copia incolla, ovviamente del tex del tuo primo post oppure metti un link. Ci vediamo nel nuovo trh
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