Maledette Palline Rosse e Blu! [Probabilità Condizionata]
Buonasera, questo è il secondo esercizio:
"In un' urna vengono inserite due palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità. Si estrae a caso una pallina che viene reinserita, quindi si estrae di nuovo a caso una pallina: se entrambe le estratte sono risultate rosse, con che probabilità
a) entrambe le palline nell'urna erano rosse?
b) estraendo nuovamente una delle due palline si trova una rossa? "
No clue.
"In un' urna vengono inserite due palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità. Si estrae a caso una pallina che viene reinserita, quindi si estrae di nuovo a caso una pallina: se entrambe le estratte sono risultate rosse, con che probabilità
a) entrambe le palline nell'urna erano rosse?
b) estraendo nuovamente una delle due palline si trova una rossa? "
No clue.
Risposte
Clue: Bayes.
Forse dico delle cavolate, ma ci provo:
1) La probabilità che entrambe le palline siano rosse è $1/3$
2) la probabilità che la prossima pallina estratta sia rossa è $2/3$
1) La probabilità che entrambe le palline siano rosse è $1/3$
2) la probabilità che la prossima pallina estratta sia rossa è $2/3$
Grazie mille dell'aiuto! 
Dunque, spero di esserne uscito.
Quesito a:
Definendo gli eventi
\(\displaystyle RR \) : entrambe le palline nell'urna sono rosse
\(\displaystyle RB \) : le palline nell'urna sono una rossa e una blu
\(\displaystyle BB \) : le palline nell'urna sono entrambe blu
\(\displaystyle E_{2R} \) : le prime due estrazioni con rimessa sono risultate in due rosse
possiamo scrivere:
\(\displaystyle P(RR|E_{2R})=\frac{P(RR\bigcap E_{2R})}{P(E_{2R})} \)
\(\displaystyle P(RR\bigcap E_{2R}) \)=\(\displaystyle P(E_{2R}|RR)\cdot P(RR)=1\cdot \frac{1}{4} \)
\(\displaystyle P(E_{2R})=P(E_{2R}|RR)\cdot P(RR)+P(E_{2R}|RB)\cdot P(RB)+P(E_{2R}|BB)\cdot P(BB)=\)
\(\displaystyle =1\cdot \frac{1}{4}+\left (\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right )\cdot \frac{2}{4}+0=\frac{3}{8} \)
Da cui
\(\displaystyle P(RR|E_{2R}) \) =\(\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{2}{3} \)
Quesito b:
Definendo l'evento:
\(\displaystyle E_{3R} \): le tre estrazioni con rimessa sono risultate in tre rosse
possiamo scrivere, "disintegrando" l'evento,
\(\displaystyle P(E_{3R})=P(E_{3R}|RR)\cdot P(RR)+P(E_{3R}|RB)\cdot P(RB) =\)
\(\displaystyle =1\cdot \frac{1}{4}+\left (\frac{1}{2} \right )^{3}\cdot \frac{2}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16} \)
Premetto che il primo risultato mi torna, il secondo no. C'è scritto che il risultato dovrebbe essere invece \(\displaystyle \frac{5}{6} \). A me sembra un po' strano..Sono corretti i due ragionamenti?
Dunque, spero di esserne uscito.Quesito a:
Definendo gli eventi
\(\displaystyle RR \) : entrambe le palline nell'urna sono rosse
\(\displaystyle RB \) : le palline nell'urna sono una rossa e una blu
\(\displaystyle BB \) : le palline nell'urna sono entrambe blu
\(\displaystyle E_{2R} \) : le prime due estrazioni con rimessa sono risultate in due rosse
possiamo scrivere:
\(\displaystyle P(RR|E_{2R})=\frac{P(RR\bigcap E_{2R})}{P(E_{2R})} \)
\(\displaystyle P(RR\bigcap E_{2R}) \)=\(\displaystyle P(E_{2R}|RR)\cdot P(RR)=1\cdot \frac{1}{4} \)
\(\displaystyle P(E_{2R})=P(E_{2R}|RR)\cdot P(RR)+P(E_{2R}|RB)\cdot P(RB)+P(E_{2R}|BB)\cdot P(BB)=\)
\(\displaystyle =1\cdot \frac{1}{4}+\left (\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right )\cdot \frac{2}{4}+0=\frac{3}{8} \)
Da cui
\(\displaystyle P(RR|E_{2R}) \) =\(\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{2}{3} \)
Quesito b:
Definendo l'evento:
\(\displaystyle E_{3R} \): le tre estrazioni con rimessa sono risultate in tre rosse
possiamo scrivere, "disintegrando" l'evento,
\(\displaystyle P(E_{3R})=P(E_{3R}|RR)\cdot P(RR)+P(E_{3R}|RB)\cdot P(RB) =\)
\(\displaystyle =1\cdot \frac{1}{4}+\left (\frac{1}{2} \right )^{3}\cdot \frac{2}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16} \)
Premetto che il primo risultato mi torna, il secondo no. C'è scritto che il risultato dovrebbe essere invece \(\displaystyle \frac{5}{6} \). A me sembra un po' strano..Sono corretti i due ragionamenti?
a) Perfetto (non controllo i conti).
b) Qui stai trascurando l'informazione che hai. Tu vuoi calcolare la probabilità che la terza estrazione mostri rossa sapendo che sono uscite due rosse nelle due estrazioni precedenti! Cioè se consideri
\[ R_i : \text{ esce rossa all' i-esima estrazione dall'urna} \]
Allora tu sei interessato a valutare
\[ P(R_3 | R_1 \wedge R_2) \]
e non \[ P(E_{3R}) = P(R_1 \wedge R_2 \wedge R_3) \]
Perché in questo secondo caso tu sei ignorante di ciò che succede nelle prime estrazioni.
Il risultato da te trovato va diviso per $P(R_1 \wedge R_2) = P(E_{2R})$ che si può calcolare "disintegrando" (dato che l'urna non ha una composizione certa).
Ci sei?
b) Qui stai trascurando l'informazione che hai. Tu vuoi calcolare la probabilità che la terza estrazione mostri rossa sapendo che sono uscite due rosse nelle due estrazioni precedenti! Cioè se consideri
\[ R_i : \text{ esce rossa all' i-esima estrazione dall'urna} \]
Allora tu sei interessato a valutare
\[ P(R_3 | R_1 \wedge R_2) \]
e non \[ P(E_{3R}) = P(R_1 \wedge R_2 \wedge R_3) \]
Perché in questo secondo caso tu sei ignorante di ciò che succede nelle prime estrazioni.
Il risultato da te trovato va diviso per $P(R_1 \wedge R_2) = P(E_{2R})$ che si può calcolare "disintegrando" (dato che l'urna non ha una composizione certa).
Ci sei?
Vero! Grazie mille, spesso questi problemi mi mandano in una confusione incredibile.
Grazie Seneca!
Grazie Seneca!
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