Lunghezza media e Calcolo del coeff. di correlazione
Salve, continuo a chiedere il vostro ausili per capirci qualcosa in più. Spero non sia contro le regole del forum inserire più di un esercizio nello stesso topic.
In un sistema di riferimento cartesiano viene si scelgono casualmente e indipendentemente una lunghezza R nell'intervallo \(\displaystyle (0,1) \) e un angolo θ nell'intervallo \(\displaystyle (0,2π) \) e si costruisce un vettore centrato nell'origine di lunghezza R e che forma con l'asse x un angolo θ (valutato in senso antiorario). Calcolare la lunghezza media delle proiezioni \(\displaystyle X \) ed \(\displaystyle Y \) del vettore sui due assi cartesiani.
Il mio problema è essenzialmente nel trovare la pdf congiunta delle variabili \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) .
Dovrebbe essere una funzione che ha un certo andamento per \(\displaystyle x∈(0,1) , y∈(0,2π) \) e che rappresenti le proiezioni di X e Y sugli assi (e che vale 0 altrimenti) ma non so bene come definirla.
___________________________________________
Siano X ed Y due variabili aleatorie con pdf congiunta \(\displaystyle f(x,y)=1, 0<=x<=1, x<=y<=x+1 \), calcolare in coefficiente di correlazione tra \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \)
Il mio procedimento è il seguente:
Voglio trovare il coefficiente di correlazione \(\displaystyle ρ \) dividendo la \(\displaystyle Cov(X,Y) \) per il prodotto delle varianze delle due variabili aleatorie.
Trovo le pdf congiunte delle due variabili \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \), integrando rispettivamente la pdf congiunta fra \(\displaystyle ]x,x+1[ \) una volta e fra \(\displaystyle ]0,1[ \) (vengono entrambe 1).
Poi trovo le medie \(\displaystyle E(X) \) ed \(\displaystyle E(Y) \) (mi vengono rispettivamente \(\displaystyle 1/2 \) e \(\displaystyle x+1/2 \) ) e le due varianze \(\displaystyle Var(X) \) e \(\displaystyle Var(Y) \) (mi vengono entrambe \(\displaystyle 1/12 \) ).
Infine vado per calcolare la covarianza, con l'integrale doppio (fra \(\displaystyle [0,1] \) e \(\displaystyle [x,x+1] \)) di \(\displaystyle (x-1/2)(y-x-1/2) \) ma mi viene 0 (mentre il risultato dell'esercizio è diverso da 0).
Mi sembra strano vedere un'incognita nella media di \(\displaystyle E(Y) \), è possibile?
_______________________________________________
Come sempre, grazie in anticipo se potrete togliermi questi dubbi (che comincio a pensare siano parzialmente dovuti all'uso di un libro di testo non del tutto completo ma che mi trovo costretto a utilizzare.
Mi rendo conto di avervi chiesto un bel po' di cose di recente quindi se la vostra risposta non sarà tempestiva lo capisco benissimo
In un sistema di riferimento cartesiano viene si scelgono casualmente e indipendentemente una lunghezza R nell'intervallo \(\displaystyle (0,1) \) e un angolo θ nell'intervallo \(\displaystyle (0,2π) \) e si costruisce un vettore centrato nell'origine di lunghezza R e che forma con l'asse x un angolo θ (valutato in senso antiorario). Calcolare la lunghezza media delle proiezioni \(\displaystyle X \) ed \(\displaystyle Y \) del vettore sui due assi cartesiani.
Il mio problema è essenzialmente nel trovare la pdf congiunta delle variabili \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) .
Dovrebbe essere una funzione che ha un certo andamento per \(\displaystyle x∈(0,1) , y∈(0,2π) \) e che rappresenti le proiezioni di X e Y sugli assi (e che vale 0 altrimenti) ma non so bene come definirla.
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Siano X ed Y due variabili aleatorie con pdf congiunta \(\displaystyle f(x,y)=1, 0<=x<=1, x<=y<=x+1 \), calcolare in coefficiente di correlazione tra \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \)
Il mio procedimento è il seguente:
Voglio trovare il coefficiente di correlazione \(\displaystyle ρ \) dividendo la \(\displaystyle Cov(X,Y) \) per il prodotto delle varianze delle due variabili aleatorie.
Trovo le pdf congiunte delle due variabili \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \), integrando rispettivamente la pdf congiunta fra \(\displaystyle ]x,x+1[ \) una volta e fra \(\displaystyle ]0,1[ \) (vengono entrambe 1).
Poi trovo le medie \(\displaystyle E(X) \) ed \(\displaystyle E(Y) \) (mi vengono rispettivamente \(\displaystyle 1/2 \) e \(\displaystyle x+1/2 \) ) e le due varianze \(\displaystyle Var(X) \) e \(\displaystyle Var(Y) \) (mi vengono entrambe \(\displaystyle 1/12 \) ).
Infine vado per calcolare la covarianza, con l'integrale doppio (fra \(\displaystyle [0,1] \) e \(\displaystyle [x,x+1] \)) di \(\displaystyle (x-1/2)(y-x-1/2) \) ma mi viene 0 (mentre il risultato dell'esercizio è diverso da 0).
Mi sembra strano vedere un'incognita nella media di \(\displaystyle E(Y) \), è possibile?
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Come sempre, grazie in anticipo se potrete togliermi questi dubbi (che comincio a pensare siano parzialmente dovuti all'uso di un libro di testo non del tutto completo ma che mi trovo costretto a utilizzare.
Mi rendo conto di avervi chiesto un bel po' di cose di recente quindi se la vostra risposta non sarà tempestiva lo capisco benissimo
Risposte
Ho dato un'occhiata al secondo ma è sbagliato. .
la marginale $f ( y) $ non può certo essere 1 se $0 <=y <=2$. Di conseguenza ti viene cov=0 perché hai sbagliato a calcolare le marginali
faccio notare che in un topic precedente ti ho anche detto che se il dominio non è rettangolare le variabili non possono essere indipendenti ( e quindi non puoi avere $ f (x, y)=f (x) f (y) $ come hai trovato tu)
Ciao
Le marginali vengono così:
$ f (x)=1$ ; $0 <=x <=1$ ( uniforme su $[0; 1] $)
$ f(y)=(1-|1-y|) I_([0; 2])(y)$ ( distribuzione triangolare)
Da qui è facile concludere l'esercizio
************
Comunque vediamo di chiarire come definire gli estremi di integrazione in casi come questi (anche se il problema è più di matematica che non di statistica)
il grafico rappresenta il dominio della variabile bidimensionale uniforme dell'esercizio 2)
se vogliamo integrare su TUTTO il dominio, lo possiamo fare x-semplice ma anche y-semplice:
$int_(0)^(1)dxint_(x)^(x+1)dy=int_(0)^(1)dyint_(0)^(y)dx+int_(1)^(2)dyint_(y-1)^(1)dx=1$
ora è evidente che, invece di integrare su entrambe le variabili.....se integriamo lo stesso integrale doppio su una unica variabile otteniamo immediatamente le marginali richieste:
$f(x)=int_(x)^(x+1)dy=1$; $0<=x<=1$
$f(y)=int_(0)^(y)dx=y$; $0<=y<1$
$f(y)=int_(y-1)^(1)dx=2-y$; $1<=y<=2$
per cui la nostra PDF viene così
$f_(Y)(y)={{: ( y , ;0<=y<1 ),( 2-y , ;1<=y<=2 ),( 0 , ;a l tr o v e ) :}$
oppure come te l'avevo scritta nell'altro post, in maniera più compatta
spero di averti chiarito un po' le idee sugli estremi di integrazione
e veniamo al numero 1)
questo è ciò che ci chiede l'esercizio
il primo punto è identificare la disribuzione bivariata....facile!
$f(x,y)={{: ( 1/pi , ;(x,y) in C),( 0 , ; al tr o ve ) :}$
come primo passo ci calcoliamo l'area media che ci aspettiamo di ottenere:
$bar(A)=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)pi(x^2+y^2)\cdot1/pi dxdy=int_(0)^(1)int_(0)^(2pi)rho^3 d rho d theta=...=pi/2$
ovvero questa:
ora, tramite la relazione che lega il raggio e le sue proiezioni (teorema di pitagora) è facile ottenere
$R^2=x^2+y^2$
da cui il valore medio (atteso) delle proiezioni
${{: ( |x|=sqrt(1/2-y^2) ),( |x|<=sqrt(2)/2 ) :}$
quindi, in pratica, se ad esempio
$x=0$ otteniamo $y=+-sqrt(2)/2$
$x=1/2$ otteniamo $y=+-1/2$
ecc ecc
tutto qui
la marginale $f ( y) $ non può certo essere 1 se $0 <=y <=2$. Di conseguenza ti viene cov=0 perché hai sbagliato a calcolare le marginali
faccio notare che in un topic precedente ti ho anche detto che se il dominio non è rettangolare le variabili non possono essere indipendenti ( e quindi non puoi avere $ f (x, y)=f (x) f (y) $ come hai trovato tu)
Ciao
Le marginali vengono così:
$ f (x)=1$ ; $0 <=x <=1$ ( uniforme su $[0; 1] $)
$ f(y)=(1-|1-y|) I_([0; 2])(y)$ ( distribuzione triangolare)
Da qui è facile concludere l'esercizio
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Comunque vediamo di chiarire come definire gli estremi di integrazione in casi come questi (anche se il problema è più di matematica che non di statistica)
il grafico rappresenta il dominio della variabile bidimensionale uniforme dell'esercizio 2)
se vogliamo integrare su TUTTO il dominio, lo possiamo fare x-semplice ma anche y-semplice:
$int_(0)^(1)dxint_(x)^(x+1)dy=int_(0)^(1)dyint_(0)^(y)dx+int_(1)^(2)dyint_(y-1)^(1)dx=1$
ora è evidente che, invece di integrare su entrambe le variabili.....se integriamo lo stesso integrale doppio su una unica variabile otteniamo immediatamente le marginali richieste:
$f(x)=int_(x)^(x+1)dy=1$; $0<=x<=1$
$f(y)=int_(0)^(y)dx=y$; $0<=y<1$
$f(y)=int_(y-1)^(1)dx=2-y$; $1<=y<=2$
per cui la nostra PDF viene così
$f_(Y)(y)={{: ( y , ;0<=y<1 ),( 2-y , ;1<=y<=2 ),( 0 , ;a l tr o v e ) :}$
oppure come te l'avevo scritta nell'altro post, in maniera più compatta
spero di averti chiarito un po' le idee sugli estremi di integrazione
e veniamo al numero 1)
questo è ciò che ci chiede l'esercizio
il primo punto è identificare la disribuzione bivariata....facile!
$f(x,y)={{: ( 1/pi , ;(x,y) in C),( 0 , ; al tr o ve ) :}$
come primo passo ci calcoliamo l'area media che ci aspettiamo di ottenere:
$bar(A)=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)pi(x^2+y^2)\cdot1/pi dxdy=int_(0)^(1)int_(0)^(2pi)rho^3 d rho d theta=...=pi/2$
ovvero questa:
ora, tramite la relazione che lega il raggio e le sue proiezioni (teorema di pitagora) è facile ottenere
$R^2=x^2+y^2$
da cui il valore medio (atteso) delle proiezioni
${{: ( |x|=sqrt(1/2-y^2) ),( |x|<=sqrt(2)/2 ) :}$
quindi, in pratica, se ad esempio
$x=0$ otteniamo $y=+-sqrt(2)/2$
$x=1/2$ otteniamo $y=+-1/2$
ecc ecc
tutto qui
Ciao,
Mi sbaglierò io ma non mi sembrava fosse la stessa distribuzione, quella che ho richiesto qualche giorno fa era discreta e credevo cambiassero un po' di cose rispetto a questa, ma mi starò sicuramente confondendo; grazie ancora per l'aiuto.
Mi sbaglierò io ma non mi sembrava fosse la stessa distribuzione, quella che ho richiesto qualche giorno fa era discreta e credevo cambiassero un po' di cose rispetto a questa, ma mi starò sicuramente confondendo; grazie ancora per l'aiuto.
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