Logica e insiemi
Potreste aiutarmi a risolvere il primo esercizio di questa vecchia prova d'esame di Probabilità e Statistica?
http://www1.mate.polimi.it/~guspos/didattica/scritti/sol020906.pdf
Bisogna determinare quali delle affermazioni proposte sono vere e quali false, ma non riesco a capire la logica delle risposte.
Vi ringrazio in anticipio!
[xdom="hamming_burst"]Sono due righe di esercizio, ricopia il testo nel forum. Grazie.[/xdom]
http://www1.mate.polimi.it/~guspos/didattica/scritti/sol020906.pdf
Bisogna determinare quali delle affermazioni proposte sono vere e quali false, ma non riesco a capire la logica delle risposte.
Vi ringrazio in anticipio!
[xdom="hamming_burst"]Sono due righe di esercizio, ricopia il testo nel forum. Grazie.[/xdom]
Risposte
Scusate, ricopio subito.
In una classe vi sono 25 studenti tra cui Valeria e Simona; sia A l'evento "Valeria è presente", B l'evento "Simona è presente" e C l'evento "tutti gli studenti sono presenti". Allora:
\(\displaystyle (A \cap B)\subset C \)
\(\displaystyle C \subset (A \cap B)\)
\(\displaystyle C^c \subset B^c \)
\(\displaystyle A \subset C \)
In una classe vi sono 25 studenti tra cui Valeria e Simona; sia A l'evento "Valeria è presente", B l'evento "Simona è presente" e C l'evento "tutti gli studenti sono presenti". Allora:
\(\displaystyle (A \cap B)\subset C \)
\(\displaystyle C \subset (A \cap B)\)
\(\displaystyle C^c \subset B^c \)
\(\displaystyle A \subset C \)
"polloalcurry":
Scusate, ricopio subito.
In una classe vi sono 25 studenti tra cui Valeria e Simona; sia A l'evento "Valeria è presente", B l'evento "Simona è presente" e C l'evento "tutti gli studenti sono presenti". Allora:
\(\displaystyle (A \cap B)\subset C \)
\(\displaystyle C \subset (A \cap B)\)
\(\displaystyle C^c \subset B^c \)
\(\displaystyle A \subset C \)
Basta utilizzare un po' di interpretazione liguistica se non ti sono chiari gli eventi in gioco:
\((A \cap B) = \varnothing\) sono eventi indipendenti
$C^C = {\text{non tutti gli studenti sono presenti}}$
$B^C = {\text{non-Simona è presente}}$
1. vero, l'insieme vuoto è sempre sottoinsieme di ogni insieme
2. falso, l'insieme vuoto non ha sottoinsiemi, se non l'insieme vuoto stesso ($C$ non lo è)
3. vero, simpatico questo, lo lascio a te.
4. vero, ovvio.
Anche io avrei risolto in questo modo l'esercizio, ma stando alle risposte (che sono riportate nel link del primo post) sono tutte sbagliate! Dopotutto solo una delle quattro risposte può essere corretta. Si tratterà di un errore? Questa domanda è già capitata in un altra prova d'esame ed è stata data la stessa soluzione riportata nel link sopra.
"polloalcurry":
Anche io avrei risolto in questo modo l'esercizio, ma stando alle risposte (che sono riportate nel link del primo post) sono tutte sbagliate! Dopotutto solo una delle quattro risposte può essere corretta. Si tratterà di un errore? Questa domanda è già capitata in un altra prova d'esame ed è stata data la stessa soluzione riportata nel link sopra.
l'unica spiegazione che mi viene in mente è che quella x sulla seconda risposta sia da intendere come l'unica false. Se vedi il titolo della sezione $0.$ è "Domande a risposta multiplca" ed in alcune domande successive si dice esplicitamente "quale è quella sempre vera". Perchè in caso contrario personalmente non vedo come la 2. possa essere corretta.
Può darsi! Comunque quando ricominceranno le lezioni chiederò chiarimenti al professore e, se mi ricorderò, vi farò sapere. Grazie mille dell'aiuto!
sono d'accordo sui risultati delle risposte ma non capisco perché $A\cap B$ dovrebbe essere l'insieme vuoto, quello che è certamente vero è che sia più piccolo di $C$ ed è sufficiente per risolvere il problema
"walter89":
non capisco perché $A\cap B$ dovrebbe essere l'insieme vuoto
ho interpretato che se uno studente è presente è indipendente da chi sia il soggetto.
PS: grazie dalla conferma.
Delle quattro affermazioni:
$(A bigcap B) sube C$ è falsa, se Valeria e Simona sono presenti non è detto che tutti siano presenti;
$C sube (A bigcap B)$ è vera, se sono tutti presenti, Valeria e Simona sono presenti;
$C^c sube B^c$ è falsa, se c'è almeno un assente non è detto che sia Simona,
$A sube C$ è falsa, se Valeria è presente non è detto che lo siano tutti.
$(A bigcap B) sube C$ è falsa, se Valeria e Simona sono presenti non è detto che tutti siano presenti;
$C sube (A bigcap B)$ è vera, se sono tutti presenti, Valeria e Simona sono presenti;
$C^c sube B^c$ è falsa, se c'è almeno un assente non è detto che sia Simona,
$A sube C$ è falsa, se Valeria è presente non è detto che lo siano tutti.
Penso di aver capito la logica delle risposte, posso quindi dire che:
\(\displaystyle A \subset C^c \) è vero perché il verificarsi di A non implica il verificarsi di C?
\(\displaystyle A \subset C^c \) è vero perché il verificarsi di A non implica il verificarsi di C?
"DajeForte":
$C sube (A bigcap B)$ è vera, se sono tutti presenti, Valeria e Simona sono presenti;
\(C \subset (A \cap B) \Longleftrightarrow \forall c \in C.c \in (A \cap B)\)
non è condizione valida per ogni elemento di $C$ ma solo per alcuni di essi, quindi è false.
L'unica condizione che possa risultare vera è tenere conto del se e solo se logico, quando entrambi i lati sono falsi. Se è questo il punto, gli eventi probabilisti e l'interpretazione linguistica, direi che contano poco in questo esercizio. Se non è nemmeno questo, non capisco l'inghippo formale.
PS: Ciao DajeForte, ben ritrovato!!
"polloalcurry":
Penso di aver capito la logica delle risposte, posso quindi dire che:
\(\displaystyle A \subset C^c \) è vero perché il verificarsi di A non implica il verificarsi di C?
No! Il verificarsi di non A implica il verificarsi di non C: $A^c sube C^c$
@hamming: ciao.
se prendi $c in C$
allora gli alunni sono tutti presenti,
dunque Simona e Valeria sono presenti ovvero $c in A$ e $ c in B$.
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