L'integrale di un processo stocastico continuo...?

[pinca1]

Se ${X_s}$ è un processo stocastico continuo sullo spazio di probabilità $(\Omega,F,\mathbb{P})$, allora $Y(\omega)=\int_0^1 X_s (\omega)\ ds$, con $\omega\in\Omega$ è una variabile aleatoria? Potete spiegarmi perché? Grazie

[clrscr]

Vediamo un pò....

Concedimi di spiegarti come la penso usando un processo disceto (facciamo stazionario e a simboili indipendenti) $X_n$ con la segunete distribuzione di massa:
$P(X_n=k)={(1/2 \text{con }k=1), (1/4 \text{con } k=3), (1/4 \text{con } k=5) :} $

Ora, invece di usare l'integrale, supponiamo di essere a tempi discreti.
Vogliamo calcolare "l'area" tra $0<=n<=1$.

Quindi:
$sum_(n=0)^1 X_n={2,4,6,8,10}$ con probabilità che è data da:

$P[2]=P[X_0=1]*P[X_1=1]$
$P[4]=P[X_0=1]*P[X_1=3]+P[X_0=3]*P[X_1=1]$
$P[6]=P[X_0=1]*P[X_1=5]+P[X_0=5]*P[X_1=1]$

e così via....

Quella appena descitta rappresenta la distriubuzione di massa della V.A. risultante.

[Andrea2976]

In questo caso l'interpretazione è abbastanza semplice. Dato che il processo $X_s(\omega)$ è continuo, allora le sue traiettorie sono continue cioè:
fissato $\omega$ la funzione $s\rightarrow X_s(\omega)$ è continua per ogni $\omega$, quindi l'integrale rispetto a $s$ è ben definito.
Anche la funzione $\omega \rightarrow \int_{0}^{1}X_s(\omega)ds$ è ben definita ed evidentemente è una v.a. rispetto a $\omega$.

L'esempio più semplice è prendere $Y_s(\omega)=s\omega$.