Limite con prob $1$ e somma infinita di medie
Sto studiando la dimostrazione di un teorema ma ci sono alcuni pezzi che non riesco a capire.
Se ho una successione $\{W_n\}$ che converge in media quadratica ad una variabile aleatoria $W$.
So che $\mathbb{E}((W-W_n)^2)=O(m^{-n})$ dove $m>1$
(cioè all'infinito si comporta come $m^{-n}$)
perchè posso dire che con probabilità $1$:
$\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)=\mathbb{E}(\sum_{n=0}^{+\infty}(W-W_n)^2)<+\infty$ ?
e questo perchè dovrebbe a sua volta implicarmi che:
$\lim_{n\to +\infty}(W-W_n)^2=0$ con probabilità $1$ ?
Se ho una successione $\{W_n\}$ che converge in media quadratica ad una variabile aleatoria $W$.
So che $\mathbb{E}((W-W_n)^2)=O(m^{-n})$ dove $m>1$
(cioè all'infinito si comporta come $m^{-n}$)
perchè posso dire che con probabilità $1$:
$\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)=\mathbb{E}(\sum_{n=0}^{+\infty}(W-W_n)^2)<+\infty$ ?
e questo perchè dovrebbe a sua volta implicarmi che:
$\lim_{n\to +\infty}(W-W_n)^2=0$ con probabilità $1$ ?
Risposte
Grazie all'aiuto di DajeForte ho pensato che il problema che avevo sulla convergenza con probabilità $1$ si potrebbe risolvere così:
Io so che $\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)<+\infty$
Ma allora $\forall \epsilon>0$ fissato si ha che
$\frac{1}{\epsilon}\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)<+\infty$
Dalla disuguaglianza di Markov ho:
$P((W-W_n)^2>\epsilon)\leq\frac{\mathbb{E}((W-W_n)^2)}{\epsilon}$
Quindi
$\sum_{n=0}^{+\infty}P((W-W_n)^2>\epsilon)\leq\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}((W-W_n)^2)}{\epsilon}<+\infty$
A questo punto dal teorema di Borel-Cantelli posso concludere che:
$P((W-W_n)^2>\epsilon \text{ infinitamente spesso})=0$
e quindi la probabilità dell'evento complementare sarà $1$
e così posso concludere che
$\lim_{n\to +\infty}(W-W_n)^2=0$ quasi ovunque.
Secondo voi è giusto questo ragionamento?
Perchè il mio libro, invece, specifica il fatto che vale la relazione:
$\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)= \mathbb{E}\sum_{n=0}^{+\infty}(W-W_n)^2<+\infty$ (relazione che continua a non essermi molto chiara)
e il fatto che la serie ha media finita mi implica la convergenza con probabilità $1$ di $W_n$ a $W$.
Quindi ci deve essere qualche problema nel ragionamento che ho fatto.
Io so che $\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)<+\infty$
Ma allora $\forall \epsilon>0$ fissato si ha che
$\frac{1}{\epsilon}\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)<+\infty$
Dalla disuguaglianza di Markov ho:
$P((W-W_n)^2>\epsilon)\leq\frac{\mathbb{E}((W-W_n)^2)}{\epsilon}$
Quindi
$\sum_{n=0}^{+\infty}P((W-W_n)^2>\epsilon)\leq\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}((W-W_n)^2)}{\epsilon}<+\infty$
A questo punto dal teorema di Borel-Cantelli posso concludere che:
$P((W-W_n)^2>\epsilon \text{ infinitamente spesso})=0$
e quindi la probabilità dell'evento complementare sarà $1$
e così posso concludere che
$\lim_{n\to +\infty}(W-W_n)^2=0$ quasi ovunque.
Secondo voi è giusto questo ragionamento?
Perchè il mio libro, invece, specifica il fatto che vale la relazione:
$\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)= \mathbb{E}\sum_{n=0}^{+\infty}(W-W_n)^2<+\infty$ (relazione che continua a non essermi molto chiara)
e il fatto che la serie ha media finita mi implica la convergenza con probabilità $1$ di $W_n$ a $W$.
Quindi ci deve essere qualche problema nel ragionamento che ho fatto.
I tuoi ragionamenti sono corretti e tieni a mente che questa e' una tecnica dimostrativa che si usa su piu' risultati.
Il ragionamento del libro e':
la serie ha media finita (perche' uguale alla serie delle medie che per ipotesi hai finita; l'uguaglianza e' giustificata dalla convergenza monotona.);
dumque la serie e' q.c. finita,
dunque q.c. il termine n-esimo della serie $(W-W_n)^2$ converge a 0.
Il ragionamento del libro e':
la serie ha media finita (perche' uguale alla serie delle medie che per ipotesi hai finita; l'uguaglianza e' giustificata dalla convergenza monotona.);
dumque la serie e' q.c. finita,
dunque q.c. il termine n-esimo della serie $(W-W_n)^2$ converge a 0.
Grazie tante per le risposte che mi dai.
Però ho ancora due dubbi sul ragionamento che fa il libro:
Perchè posso usare il teorema di convergenza monotona?
Per usarlo dovrei avere che $(W-W_n)^2\leq(W-W_{n+1})^2)$ chi me lo garantisce?
Il fatto che $W_n\toW$ in media quadratica mi basta per dirlo?
Il fatto che $P(\sum_{k=0}^{+\infty}(W-W_{n})^2<+\infty)=0$ e cioè che la serie è finita quasi ovunque mi permette di dire che il termine n-esimo $(W-W_n)^2$ converge a $0$ è conseguenza del classico teorema sulle serie numeriche convegenti che si usa in analisi? Cioè di quel teorema che dice che il termine generico di una serie convergente va a 0'? D'altronde $W(\omega)-W_n(\omega)$ sono numeri quindi quella effettivamente è una serie numerica.
E' così che funziona?
Borel-Cantelli quindi in questo secondo modo di procedere non c'entra.
Grazie mille!!
Però ho ancora due dubbi sul ragionamento che fa il libro:
Perchè posso usare il teorema di convergenza monotona?
Per usarlo dovrei avere che $(W-W_n)^2\leq(W-W_{n+1})^2)$ chi me lo garantisce?
Il fatto che $W_n\toW$ in media quadratica mi basta per dirlo?
Il fatto che $P(\sum_{k=0}^{+\infty}(W-W_{n})^2<+\infty)=0$ e cioè che la serie è finita quasi ovunque mi permette di dire che il termine n-esimo $(W-W_n)^2$ converge a $0$ è conseguenza del classico teorema sulle serie numeriche convegenti che si usa in analisi? Cioè di quel teorema che dice che il termine generico di una serie convergente va a 0'? D'altronde $W(\omega)-W_n(\omega)$ sono numeri quindi quella effettivamente è una serie numerica.
E' così che funziona?
Borel-Cantelli quindi in questo secondo modo di procedere non c'entra.
Grazie mille!!
"Claudia87an":
Il fatto che $P(\sum_{k=0}^{+\infty}(W-W_{n})^2<+\infty)=0 ("correggo" =1)$ e cioè che la serie è finita quasi ovunque mi permette di dire che il termine n-esimo $(W-W_n)^2$ converge a $0$ è conseguenza del classico teorema sulle serie numeriche convegenti che si usa in analisi? Cioè di quel teorema che dice che il termine generico di una serie convergente va a 0'? D'altronde $W(\omega)-W_n(\omega)$ sono numeri quindi quella effettivamente è una serie numerica.
E' così che funziona?
Si è così; infatti se definisci
$A={omega in Omega \ |\ sum_{n=1}^{infty}(W_n(omega)-W(omega))^2<+infty}$ e
$B={omega in Omega \ |\ \lim_{n to infty}(W_n(omega)-W(omega))^2 = 0}$
hai che $A sube B$ e $P(A)=1$
Per la convergenza monotona prova a ragionarci ancora un pochino, pensando che questo teorema permette di passare il limite sotto il segno di integrale: dove è qua il limite? Quindi quali sono le funzioni misurabili non-negative e non decrescenti in questa relazione?
$\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}((W-W_n)^2)=\mathbb{E}(\sum_{n=0}^{+\infty}(W-W_n)^2)$
Forse $A_n=\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2$,
$\{A_n\}_n$ è sicuramente una successione non negativa e tale che $A_n\leqA_{n+1}$.
Quindi per il teorema della convergenza monotona $lim_{n\to +\infty}\mathbb{E}(A_n)=\mathbb{E}(\lim_{n\to +\infty}A_n)$
e quindi $lim_{n\to +\infty}\mathbb{E}(\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2)=\mathbb{E}(\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2)$ e cioè
$lim_{n\to +\infty}\mathbb{E}(\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2)=\mathbb{E}(\sum_{k=0}^{\infty}(W-W_k)^2)$
A questo punto nel primo membro media e somma (finita) li posso scambiare e infine facendo il limite ottengo ciò che volevo ottenere.
Giusto?
Ti ringrazio tanto!!
$\{A_n\}_n$ è sicuramente una successione non negativa e tale che $A_n\leqA_{n+1}$.
Quindi per il teorema della convergenza monotona $lim_{n\to +\infty}\mathbb{E}(A_n)=\mathbb{E}(\lim_{n\to +\infty}A_n)$
e quindi $lim_{n\to +\infty}\mathbb{E}(\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2)=\mathbb{E}(\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2)$ e cioè
$lim_{n\to +\infty}\mathbb{E}(\sum_{k=0}^{n}(W-W_k)^2)=\mathbb{E}(\sum_{k=0}^{\infty}(W-W_k)^2)$
A questo punto nel primo membro media e somma (finita) li posso scambiare e infine facendo il limite ottengo ciò che volevo ottenere.
Giusto?
Ti ringrazio tanto!!
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