Lemma di borel-cantelli
il mio libro di testo, si limita semplicemente a dire
se [tex]A_n[/tex] con n>=1 è una successione di eventi di una classe additiva, allora se
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) <\infty[/tex]
si ha che
[tex]P(\lim_{n \to \infty} sup A_n)=0[/tex]
ma in soldoni cosa significa?
se [tex]A_n[/tex] con n>=1 è una successione di eventi di una classe additiva, allora se
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) <\infty[/tex]
si ha che
[tex]P(\lim_{n \to \infty} sup A_n)=0[/tex]
ma in soldoni cosa significa?
Risposte
Innanzitutto devi avere chiara la definizione di lim sup (e magari anche di lim inf)
Il lim sup di A_n è definito come: [tex]\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k[/tex]
questo evento lo puoi comprendere come [tex]\forall n>0 \quad \exists k \geq n \quad \text{tale che } A_k \text{ si verifica}[/tex]
ovvero a parole fissato un qualunque n intero positivo esiste almeno un evento successivo che si verifica.
Il lim inf di A_n e definito come : [tex]\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k[/tex]
questo evento lo puoi comprendere come [tex]\exists n>0 \quad \forall k \geq n \quad \text{tale che } A_k \text{ si verifica}[/tex]
ovvero a parole esiste un n tale che ogni evento successivo a questo n si verifica.
Lim inf e lim sup esistono sempre ed è chiaro dalla definizione che lim inf è incluso nel lim sup (se si verifica il lim inf si verifica il lim sup ma non è vero il viceversa).
La successione degli A_n ha limite se e solo se il lim inf ed il lim sup sono uguali (ed il limite è ovviamente uguale a quell'evento).
Veniamo a BC. Detto a parole: se la serie converge significa che la probabilità [tex]P(A_n)[/tex] converge a 0 ma con una velocità tale da far si che il lim sup abbia probabilità 0. Il lim sup lo puoi anche leggere come gli eventi A_n si verificano infinitamente spesso ovvero continuano a verificarsi questo perchè come dicevo prima al cresere di n c'è sempre almeno un evento dopo che si verifica. Se la serie converge le probabiità di A_n vanno a 0 in maniera tale che questo evento non si verifica ovvero non si hanno infiniti A_n.
In probabilità si può rigirare la tesi (non confondere con BC secondo lemma; ma sto solo scrivendo equivalentemente la tesi). Infatti se fai i compementi hai che:
[tex]P(\lim \sup A_n)=0[/tex] se e solo se [tex]1=P(\lim \inf A_k^c)[/tex] ed in questa maniera è più chiaro:
ovvero ha probabilità 1 il lim inf dei complementi ovvero con probabilità 1 da un certo punto in poi si verificano tutti i complementi e questo ti fa capire che non succede che gli A_n si continuino a verificare infinitamente spesso.
Il lim sup di A_n è definito come: [tex]\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k[/tex]
questo evento lo puoi comprendere come [tex]\forall n>0 \quad \exists k \geq n \quad \text{tale che } A_k \text{ si verifica}[/tex]
ovvero a parole fissato un qualunque n intero positivo esiste almeno un evento successivo che si verifica.
Il lim inf di A_n e definito come : [tex]\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k[/tex]
questo evento lo puoi comprendere come [tex]\exists n>0 \quad \forall k \geq n \quad \text{tale che } A_k \text{ si verifica}[/tex]
ovvero a parole esiste un n tale che ogni evento successivo a questo n si verifica.
Lim inf e lim sup esistono sempre ed è chiaro dalla definizione che lim inf è incluso nel lim sup (se si verifica il lim inf si verifica il lim sup ma non è vero il viceversa).
La successione degli A_n ha limite se e solo se il lim inf ed il lim sup sono uguali (ed il limite è ovviamente uguale a quell'evento).
Veniamo a BC. Detto a parole: se la serie converge significa che la probabilità [tex]P(A_n)[/tex] converge a 0 ma con una velocità tale da far si che il lim sup abbia probabilità 0. Il lim sup lo puoi anche leggere come gli eventi A_n si verificano infinitamente spesso ovvero continuano a verificarsi questo perchè come dicevo prima al cresere di n c'è sempre almeno un evento dopo che si verifica. Se la serie converge le probabiità di A_n vanno a 0 in maniera tale che questo evento non si verifica ovvero non si hanno infiniti A_n.
In probabilità si può rigirare la tesi (non confondere con BC secondo lemma; ma sto solo scrivendo equivalentemente la tesi). Infatti se fai i compementi hai che:
[tex]P(\lim \sup A_n)=0[/tex] se e solo se [tex]1=P(\lim \inf A_k^c)[/tex] ed in questa maniera è più chiaro:
ovvero ha probabilità 1 il lim inf dei complementi ovvero con probabilità 1 da un certo punto in poi si verificano tutti i complementi e questo ti fa capire che non succede che gli A_n si continuino a verificare infinitamente spesso.
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