Leggi congiunte di un vettore aleatorio discreto
Buongiorno
Ho presente il concetto di probabilita congiunta di un vettore aleatorio, ma in questo caso ho grosse difficolta.
Consideriamo infinite prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo
$p in (0; 1)$.
Siano quindi $ \Omega ={0,1}^N$; e $ A = \sigma (Ek|k=1,2....)$, con
$Ek =$ successo alla prova k;
e sia $P$ tale che ${Ek}kinN$ risulti una famiglia di eventi indipendenti con $P(Ek) = p$ per ogni k.
Indicato con $\omega (\omegak)$ con k=1..infinito
il generico esito dello spazio campionario. Definiamo infine le variabili aleatorie
$Xk : \Omega \rightarrow R$ , $Xk(\omega)=\omegak$ , $k in N $
Tra le altre cose viene chiesto:
Introdurre $Z$="numero di prove necessarie per il primo successo".. $W$="numero di insuccessi prima del primo successo"
Calcolare la legge congiunta della coppia (Z,W).
Considero
$Pz(i)=p*(1-p)^(i-1)$
$Pw(j)=p*(1-p)^j$
La legge congiunta:
$P(Z,W)$ in (i,j)
Preciso che non è ancora stato chiesto se le due variabili sono indipendenti, questo viene chiesto dopo
A questo punto non so come "mettere assieme le due leggi"
Nel risultato fornito si hanno risultati solo per
i=0, j>=3 risulta $p*(1-p)^(j-1)$
i=1, j=2,3 risulta $p*(1-p)$
i=2,j=1 risulta $p^2$
in tutti gli altri casi fa 0.
Se i =0, perchè non ho risultati con j=1 oppure j=2 e via dicendo. Inoltre perchè da 0 in tutti gli altri casi?
Grazie
Ho presente il concetto di probabilita congiunta di un vettore aleatorio, ma in questo caso ho grosse difficolta.
Consideriamo infinite prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo
$p in (0; 1)$.
Siano quindi $ \Omega ={0,1}^N$; e $ A = \sigma (Ek|k=1,2....)$, con
$Ek =$ successo alla prova k;
e sia $P$ tale che ${Ek}kinN$ risulti una famiglia di eventi indipendenti con $P(Ek) = p$ per ogni k.
Indicato con $\omega (\omegak)$ con k=1..infinito
il generico esito dello spazio campionario. Definiamo infine le variabili aleatorie
$Xk : \Omega \rightarrow R$ , $Xk(\omega)=\omegak$ , $k in N $
Tra le altre cose viene chiesto:
Introdurre $Z$="numero di prove necessarie per il primo successo".. $W$="numero di insuccessi prima del primo successo"
Calcolare la legge congiunta della coppia (Z,W).
Considero
$Pz(i)=p*(1-p)^(i-1)$
$Pw(j)=p*(1-p)^j$
La legge congiunta:
$P(Z,W)$ in (i,j)
Preciso che non è ancora stato chiesto se le due variabili sono indipendenti, questo viene chiesto dopo
A questo punto non so come "mettere assieme le due leggi"
Nel risultato fornito si hanno risultati solo per
i=0, j>=3 risulta $p*(1-p)^(j-1)$
i=1, j=2,3 risulta $p*(1-p)$
i=2,j=1 risulta $p^2$
in tutti gli altri casi fa 0.
Se i =0, perchè non ho risultati con j=1 oppure j=2 e via dicendo. Inoltre perchè da 0 in tutti gli altri casi?
Grazie
Risposte
"raimond":
Tra le altre cose viene chiesto:
Introdurre $Z$="numero di prove necessarie per il primo successo".. $W$="numero di insuccessi prima del primo successo"
Forse mi sfugge qualcosa ma non abbiamo semplicemente che $W=Z-1$?
Direi di si..
ma il supporto di Z è{0,1,2,3,......}
il supporto di W è anch'esso {0,1,2,3....} trattandosi di una serie di bernulliane.
Ora, il vettore (Z,W) dovrebbe avere un sullorto pari a {0 1 2 3...}x{0 1 2 3 ...} dovrei trovare la legge di questo vettore, che dovrebbe assomigliare a (1-p)^i o (1-p)^j
Se per esempio i =2 significa che il primo successo cel'ho al secondo tentativo e quindi j =1 (n di insuccessi prima del primo successo). Mi pare ovvio che i=0 non puo esistere ma deve essere almeno i=1 cioè successo al primo esperimeno, in questo caso j=0 che significa non ci sono stati insuccessi.
etc.
Ma questo non appare nel risultato fornito.....oppure non capisco come trovare la prob. congiunta del vettore (Z,W).
ma il supporto di Z è{0,1,2,3,......}
il supporto di W è anch'esso {0,1,2,3....} trattandosi di una serie di bernulliane.
Ora, il vettore (Z,W) dovrebbe avere un sullorto pari a {0 1 2 3...}x{0 1 2 3 ...} dovrei trovare la legge di questo vettore, che dovrebbe assomigliare a (1-p)^i o (1-p)^j
Se per esempio i =2 significa che il primo successo cel'ho al secondo tentativo e quindi j =1 (n di insuccessi prima del primo successo). Mi pare ovvio che i=0 non puo esistere ma deve essere almeno i=1 cioè successo al primo esperimeno, in questo caso j=0 che significa non ci sono stati insuccessi.
etc.
Ma questo non appare nel risultato fornito.....oppure non capisco come trovare la prob. congiunta del vettore (Z,W).
Be... proprio nessuno? Ghira non hai altro da dirmi?
Il risultato fornito mi sembra sbagliato. Forse sono io a non capire la domanda.
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