Legge simmetrica e densità pari
Vorrei dimostrare la seguente affermazione:
Una variabile aleatoria $X$ dotata di densità ha legge simmetrica (cioè tale che $X$ e $-X$ sono isonome) se e solo se la sua densità è una funzione pari.
La freccia $\Leftarrow$ l'ho dimostrata provando che $X$ e $-X$ hanno la stessa funzione di ripartizione.
Invece per la freccia $\Rightarrow$ farei così: penso che l'obiettivo sia quello di trovare qualcosa tipo
$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)-f(-x)|dx=0$...
Così trovo che $f$ è pari "quasi ovunque" e non penso di poter aspirare a qualcosa di più per quanto riguarda la densità, no?
Passando sempre attraverso le funzioni di ripartizione:
$F_{-X}(t)=P(-X\leq t)=P(X\geq -t)=1-F_X(-t)=1-\int_{-\infty}^{-t}f(x)dx=1-\int^{\infty}_t f(-x)dx$
e questa è uguale per ipotesi a
$F_{X}(t)=\int_{-\infty}^t f(x)dx$
per cui per ogni $t$ deve essere
$\int_t^{+\infty}f(-x)dx=\int_t^{+\infty}f(x)dx$
da cui
$\int_t^{+\infty}|f(x)-f(-x)|dx=0$ per ogni $t$.
Basta per provare la tesi?
Una variabile aleatoria $X$ dotata di densità ha legge simmetrica (cioè tale che $X$ e $-X$ sono isonome) se e solo se la sua densità è una funzione pari.
La freccia $\Leftarrow$ l'ho dimostrata provando che $X$ e $-X$ hanno la stessa funzione di ripartizione.
Invece per la freccia $\Rightarrow$ farei così: penso che l'obiettivo sia quello di trovare qualcosa tipo
$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)-f(-x)|dx=0$...
Così trovo che $f$ è pari "quasi ovunque" e non penso di poter aspirare a qualcosa di più per quanto riguarda la densità, no?
Passando sempre attraverso le funzioni di ripartizione:
$F_{-X}(t)=P(-X\leq t)=P(X\geq -t)=1-F_X(-t)=1-\int_{-\infty}^{-t}f(x)dx=1-\int^{\infty}_t f(-x)dx$
e questa è uguale per ipotesi a
$F_{X}(t)=\int_{-\infty}^t f(x)dx$
per cui per ogni $t$ deve essere
$\int_t^{+\infty}f(-x)dx=\int_t^{+\infty}f(x)dx$
da cui
$\int_t^{+\infty}|f(x)-f(-x)|dx=0$ per ogni $t$.
Basta per provare la tesi?
Risposte
a occhio direi di si.
Per concludere la dimostrazione, mettendo i puntini sulle i (questa mattina ho voglia di scrivere) potresti concludere in questo modo:
Supponiamo per assurdo che $E=\{ f_X\ne f_{-X}\}$ abbia misura positiva, i.e. $\lambda(E)>0$ (con $\lambda$ ho indicato la misura di Lebesgue). Allora $\int_{\mathbb{R}}1_E(x)|f(x)-f(-x)|dx>0$.
Analizziamo per prima cosa il caso in cui $E$ è limitato: in questo caso esiterà $t>0$ t.c. $E\in [-t,+\infty)$ e quindi
$0<\int_{-t}^{+\infty}1_E(x)|f(x)-f(-x)|dx<\int_{-t}^{+\infty}|f(x)-f(-x)|dx=0$ per quanto mostrato prima.
Questo contraddice la nostra ipotesi di assurdo e quindi forza $\lambda(E)=0$.
Passiamo al caso in cui $E$ sia illimitato. Possiamo scrivere che $E=\cup_n E_n$ con $E_n$ insiemi limitati (e.g. $E_n=B(0,n)\cap E$). Usando l'argomentazione di prima concludiamo che $\lambda(E_n)=0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e per subadditività della misura si ha che $\lambda(E)=0$.
In questo modo hai dimostrato che se $X$ ha legge simmetrica, allora $f_X$ è pari $\lambda$-q.o.
Ma puoi andare avanti, ovvero puoi supporre che siano uguali ovunque.
Infatti ridefinisci $f(x)=f(x)$ se $x\notin E$, zero se $x\in E$. Dal momento che $E$ è un insieme di misura zero, hai che $f(x)$ è ancora una densità per $X$ rispetto alla misura di Lebesgue ed è una funzione pari. No?
Per concludere la dimostrazione, mettendo i puntini sulle i (questa mattina ho voglia di scrivere) potresti concludere in questo modo:
Supponiamo per assurdo che $E=\{ f_X\ne f_{-X}\}$ abbia misura positiva, i.e. $\lambda(E)>0$ (con $\lambda$ ho indicato la misura di Lebesgue). Allora $\int_{\mathbb{R}}1_E(x)|f(x)-f(-x)|dx>0$.
Analizziamo per prima cosa il caso in cui $E$ è limitato: in questo caso esiterà $t>0$ t.c. $E\in [-t,+\infty)$ e quindi
$0<\int_{-t}^{+\infty}1_E(x)|f(x)-f(-x)|dx<\int_{-t}^{+\infty}|f(x)-f(-x)|dx=0$ per quanto mostrato prima.
Questo contraddice la nostra ipotesi di assurdo e quindi forza $\lambda(E)=0$.
Passiamo al caso in cui $E$ sia illimitato. Possiamo scrivere che $E=\cup_n E_n$ con $E_n$ insiemi limitati (e.g. $E_n=B(0,n)\cap E$). Usando l'argomentazione di prima concludiamo che $\lambda(E_n)=0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e per subadditività della misura si ha che $\lambda(E)=0$.
In questo modo hai dimostrato che se $X$ ha legge simmetrica, allora $f_X$ è pari $\lambda$-q.o.
Ma puoi andare avanti, ovvero puoi supporre che siano uguali ovunque.
Infatti ridefinisci $f(x)=f(x)$ se $x\notin E$, zero se $x\in E$. Dal momento che $E$ è un insieme di misura zero, hai che $f(x)$ è ancora una densità per $X$ rispetto alla misura di Lebesgue ed è una funzione pari. No?
"fu^2":
(questa mattina ho voglia di scrivere)
Acc! A saperlo avrei scritto anche la dimostrazione dell'equivalenza tra le due definizioni di convergenza in legge, quella con la convergenza delle speranze e quella con la convergenza delle funzioni di ripartizione, che mi sta facendo perdere il sonno
Ma puoi andare avanti, ovvero puoi supporre che siano uguali ovunque.
Infatti ridefinisci $f(x)=f(x)$ se $x\notin E$, zero se $x\in E$. Dal momento che $E$ è un insieme di misura zero, hai che $f(x)$ è ancora una densità per $X$ rispetto alla misura di Lebesgue ed è una funzione pari. No?
Sì, possiamo forse dire che se la $X$ (dotata di densità) ha legge simmetrica, allora esiste una versione della densità pari, eh?
"retrocomputer":
possiamo forse dire che se la $X$ (dotata di densità) ha legge simmetrica, allora esiste una versione della densità pari, eh?
si
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