Legge di densità della differenza di variabili aleatorie
Salve a tutti, devo svolgere il seguente esercizio:
Siano $ X_k∼Exp(1),kin NN $ , v.a. indipendenti. Calcolare $ Y=X_1-X_2 $.
La soluzione fornita dal professore è:
$ f_Y(y)=e^y/2*1(-infty,0]+e^-y/2*1[0,+infty) $ .
Per prima cosa, non riesco a capire come trovare il supporto della nuova variabile. Essendo Y funzione di due variabili con distribuzione esponenziale, non dovrebbe avere come supporto lo stesso delle due funzioni (ovvero $ [0,+infty) $ )?
Una volta individuato il supporto della variabile, come bisogna procedere? Ho tentato imponendo \( P(Y\leq y)=P(X_1-X_2\leq y)=P(X_2\geq X_1-y) \) , ma non so come procedere in quanto, tracciato il grafico della funzione \( X_2=X_1-y \) non riesco a capire quali sono gli estremi di integrazione da considerare.
E' la prima volta che scrivo nel forum quindi spero di non aver violato nessuna regola, in caso contrario chiedo scusa.
Siano $ X_k∼Exp(1),kin NN $ , v.a. indipendenti. Calcolare $ Y=X_1-X_2 $.
La soluzione fornita dal professore è:
$ f_Y(y)=e^y/2*1(-infty,0]+e^-y/2*1[0,+infty) $ .
Per prima cosa, non riesco a capire come trovare il supporto della nuova variabile. Essendo Y funzione di due variabili con distribuzione esponenziale, non dovrebbe avere come supporto lo stesso delle due funzioni (ovvero $ [0,+infty) $ )?
Una volta individuato il supporto della variabile, come bisogna procedere? Ho tentato imponendo \( P(Y\leq y)=P(X_1-X_2\leq y)=P(X_2\geq X_1-y) \) , ma non so come procedere in quanto, tracciato il grafico della funzione \( X_2=X_1-y \) non riesco a capire quali sono gli estremi di integrazione da considerare.
E' la prima volta che scrivo nel forum quindi spero di non aver violato nessuna regola, in caso contrario chiedo scusa.
Risposte
Purtroppo sul mio libro di testo ci sono solo un paio di esempi su questa tipologia di esercizi e non riesco a continuare, se qualcuno potesse illustrarmi almeno a grandi linee i passaggi da seguire mi sarebbe molto di aiuto.
Facciamo così:
te ne faccio vedere metà....tanto l'altra metà è identica, così ci prendi la mano (poi guardi sul forum che di esercizi così ne ho risolti qualche centinaio....)
dammi una decina di minuti, perché devo anche fare un grafico (e voglio anche controllare i conti dell'integrale...)
Quindi, tanto per alleggerire la notazione evitando di portarmi dieto i pedici, indico con $X,Y$ le due marginali indipendenti
$f_X(x)=e^(-x)I_([0;+oo))(x)$
$f_Y(y)=e^(-y)I_([0;+oo))(y)$
e calcolo la densità della nuova variabile
$Z=X-Y$
Partendo dalla definizione di CDF abbiamo che
$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(X-YX-z)$ con $z in RR$
facciamo un disegnino del dominio....ricordando che la CDF di Z si calcola integrando la distribuzione congiunta $f(x,y)=e^(-x-y)$ sul dominio di integrazione e notiamo che, quando $z>=0$ significa integrare sull'area colorata
e quindi significa risolvere (ho integrato y-semplice perché con questo dominio viene più comodo...)
$F_Z(z)=int_0^(+oo)e^(-y)dyint_0^(y+z)e^(-x)dx=...=1-e^(-z)/2$
derivando, otteniamo la densità
$f_Z(z)=1/2e^(-z)I_([0;+oo))(z)$
Come vedi tale soluzione coincide con quella del tuo prof...fai lo stesso ragionamento (cambierà l'area di integrazione) ed otterrai l'altra meta della densità.
NOTA: la soluzione proposta dal prof è corretta ma si può scrivere meglio: $f_Z(z)=1/2e^(-|z|)$; $z in RR$. Trattasi di distribuzione nota: è una Laplace.
ciao ciao
Ps: 10' esatti!, grafico e conti inclusi lol
te ne faccio vedere metà....tanto l'altra metà è identica, così ci prendi la mano (poi guardi sul forum che di esercizi così ne ho risolti qualche centinaio....)
dammi una decina di minuti, perché devo anche fare un grafico (e voglio anche controllare i conti dell'integrale...)
Quindi, tanto per alleggerire la notazione evitando di portarmi dieto i pedici, indico con $X,Y$ le due marginali indipendenti
$f_X(x)=e^(-x)I_([0;+oo))(x)$
$f_Y(y)=e^(-y)I_([0;+oo))(y)$
e calcolo la densità della nuova variabile
$Z=X-Y$
Partendo dalla definizione di CDF abbiamo che
$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(X-Y
facciamo un disegnino del dominio....ricordando che la CDF di Z si calcola integrando la distribuzione congiunta $f(x,y)=e^(-x-y)$ sul dominio di integrazione e notiamo che, quando $z>=0$ significa integrare sull'area colorata
e quindi significa risolvere (ho integrato y-semplice perché con questo dominio viene più comodo...)
$F_Z(z)=int_0^(+oo)e^(-y)dyint_0^(y+z)e^(-x)dx=...=1-e^(-z)/2$
derivando, otteniamo la densità
$f_Z(z)=1/2e^(-z)I_([0;+oo))(z)$
Come vedi tale soluzione coincide con quella del tuo prof...fai lo stesso ragionamento (cambierà l'area di integrazione) ed otterrai l'altra meta della densità.
NOTA: la soluzione proposta dal prof è corretta ma si può scrivere meglio: $f_Z(z)=1/2e^(-|z|)$; $z in RR$. Trattasi di distribuzione nota: è una Laplace.
ciao ciao
Ps: 10' esatti!, grafico e conti inclusi lol
Grazie mille, sei stato gentilissimo!
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