Lancio di un dado
Ciao a tutti! Avrei un problema con questo esercizio... un dado equilibrato viene lanciato $N=900$ volte e viene definita una variabile aleatoria $X$ che conta il numero di volte in cui esce il 6. Si chiede di trovare uno spazio di probabilità che modellizza l'esperimento, di descrivere $X$, di determinarne la distribuzione di probabilità e di calcolare $prob(X>=180)$. Per le prime tre richieste non ci sono problemi: ho scelto $(\Omega^N, F^N, P^N)$ con $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, $F$ la $\sigma$-algebra generata da $A={6}$ e $P$ la legge di probabilità tale che
$P(\omega)=\{(1, if \omega \in A),(0, if \omega \notin A):}$
Dunque si può vedere $X$ come una variabile aleatoria con distribuzione binomiale, dunque $X~B(N,p)$, con $p=1/6$.
Quindi $p_X(k)=((N),(k))p^k(1-p)^(N-k)$, $\forall k=0,...,N$.
Il problema è calcolare $prob(X>=180)$... io avevo pensato di procedere così:
$prob(X>=180)=1-prob(X<180)=1-\sum_{k=0}^{179}p_X(k)$
Il problema è che il calcolo è impresentabile così... esiste un modo migliore?
$P(\omega)=\{(1, if \omega \in A),(0, if \omega \notin A):}$
Dunque si può vedere $X$ come una variabile aleatoria con distribuzione binomiale, dunque $X~B(N,p)$, con $p=1/6$.
Quindi $p_X(k)=((N),(k))p^k(1-p)^(N-k)$, $\forall k=0,...,N$.
Il problema è calcolare $prob(X>=180)$... io avevo pensato di procedere così:
$prob(X>=180)=1-prob(X<180)=1-\sum_{k=0}^{179}p_X(k)$
Il problema è che il calcolo è impresentabile così... esiste un modo migliore?
Risposte
easy.....il calcolo esatto della probabilità è improponibile manualmente ma diventa semplice con un foglio elettronico. Manualmente si arriva però facilmente ad una buona approssimazione (ed è ciò che si richiede in questi esercizi) con l'utilizzo di una gaussiana
Come hai già notato, la variabile è una bernulliana di media $1/6$
la somma di 900 bernulliane indipendenti è una binomiale di media $900\cdot1/6=150$ e di varianza $900\cdot1/6\cdot5/6=125$
Ciò che ti manca per risolvere l'esercizio è applicare il teorema del limite centrale ottenendo:
$P(X>=180)=P[Z>=(179.5-150)/sqrt(125)]=P(Z>=2.64)~=0.0042$
Per completezza di calcolo ho anche tenuto conto di un fattore di correzione per l'approssimazione di distribuzione discreta con una continua.
Puoi controllare con un foglio elettronico, basta poco, per vedere che il calcolo esatto con la binomiale che hai scritto tu porta al risultato di $0.004876$
....direi che è una buona approssimazione....che dici?
fine.
Come hai già notato, la variabile è una bernulliana di media $1/6$
la somma di 900 bernulliane indipendenti è una binomiale di media $900\cdot1/6=150$ e di varianza $900\cdot1/6\cdot5/6=125$
Ciò che ti manca per risolvere l'esercizio è applicare il teorema del limite centrale ottenendo:
$P(X>=180)=P[Z>=(179.5-150)/sqrt(125)]=P(Z>=2.64)~=0.0042$
Per completezza di calcolo ho anche tenuto conto di un fattore di correzione per l'approssimazione di distribuzione discreta con una continua.
Puoi controllare con un foglio elettronico, basta poco, per vedere che il calcolo esatto con la binomiale che hai scritto tu porta al risultato di $0.004876$
....direi che è una buona approssimazione....che dici?
fine.
E' sicuramente una buona approssimazione, il problema è proprio che devo prendere manualità con le variabili normali e le approssimazioni a distribuzioni continue... riguarderò bene, in ogni caso grazie mille! 
Scusami, ma per il calcolo finale, con la correzione di continuità, ci sarebbe da integrare la gaussiana di probabilità della normale approssimante... come si procede?
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