Lanci monete
ciao a tutti, ho un esercizio che sembra facile, ma mi ha dato da pensare:
Un sacco di monete false contiene metà monete che danno testa con probabilità $1/3$ e metà che danno testa con probabilità $2/3$. Dal sacco viene estratta a caso una moneta. La moneta scelta viene poi lanciata $n$ volte.
(a.) Detto $X_i$ il risultato del lancio $i$ (1 se esce testa, 0 se esce croce), calcolare la correlazione fra $X_i$ e $X_j$ .
(b.) Calcolare la media e la varianza del numero di teste che appaiono negli n lanci.
La correlazione si calcola come $E(X_iXj)$, ma in questo caso le 2 v.a. immagino siano indipendenti, quindi $E(X_iXj) = E(X_i)E(Xj)$
A questo punto calcolo le prob di 1 e 0 per le due v.a. Si avrà $P(X_i = 1) = 1/2*1/3 + 1/2*2/3 = 1/2$ e $P(X_i = 0) = 1/2*2/3 + 1/2*1/3 = 1/2$
Ora aggiungerei anche le 2 v.a. secondo me sono anche identiche in quanto rapprendentano semplicemente il valore uscito ad un certo lancio..
Allora $E(X_iXj) = E(X_i)E(Xj) = E(X_i)^2 = 1/4$ con $E(X_i)^2 = 1*1/2 + 0*1/2 = 1/2$
che ne dite ?
Per il secondo punto si tratta certamente di una binomiale su $n$ lanci, ma non sono sicuro della probabilità da usare. Dovrei usare la prob. di testa calcolata per $X_i$ ottenendo una binomiale di parametri $(n, 1/2)$ ?
Grazie a tutti
Un sacco di monete false contiene metà monete che danno testa con probabilità $1/3$ e metà che danno testa con probabilità $2/3$. Dal sacco viene estratta a caso una moneta. La moneta scelta viene poi lanciata $n$ volte.
(a.) Detto $X_i$ il risultato del lancio $i$ (1 se esce testa, 0 se esce croce), calcolare la correlazione fra $X_i$ e $X_j$ .
(b.) Calcolare la media e la varianza del numero di teste che appaiono negli n lanci.
La correlazione si calcola come $E(X_iXj)$, ma in questo caso le 2 v.a. immagino siano indipendenti, quindi $E(X_iXj) = E(X_i)E(Xj)$
A questo punto calcolo le prob di 1 e 0 per le due v.a. Si avrà $P(X_i = 1) = 1/2*1/3 + 1/2*2/3 = 1/2$ e $P(X_i = 0) = 1/2*2/3 + 1/2*1/3 = 1/2$
Ora aggiungerei anche le 2 v.a. secondo me sono anche identiche in quanto rapprendentano semplicemente il valore uscito ad un certo lancio..
Allora $E(X_iXj) = E(X_i)E(Xj) = E(X_i)^2 = 1/4$ con $E(X_i)^2 = 1*1/2 + 0*1/2 = 1/2$
che ne dite ?
Per il secondo punto si tratta certamente di una binomiale su $n$ lanci, ma non sono sicuro della probabilità da usare. Dovrei usare la prob. di testa calcolata per $X_i$ ottenendo una binomiale di parametri $(n, 1/2)$ ?
Grazie a tutti
Risposte
$X_i$ ed $X_j$ non sono indipendenti.
b) no, non si tratta di una binomiale. Perchè appunto non sono indipendenti.
Hint:
b) no, non si tratta di una binomiale. Perchè appunto non sono indipendenti.
Hint:
già è vero, le 2 v.a. non sono indipendenti, quindi dovrei fare $E[X_iX_j] = \sum_{i=0}^{1}\sum_{j=0}^{1}X_iX_jP(X_i = i, X_j = j) = P(X_i = 1, X_j = 1)$
Condizionando sulla scelta della moneta ho (On = moneta onesta, NOn = non onesta): $P(X_i = 1, X_j = 1) = P(X_i = 1, X_j = 1|On)P(On) + P(X_i = 1, X_j = 1|NOn)P(NOn) = 1/3^2 1/2 + (2/3)^2 1/2
Condizionando sulla scelta della moneta ho (On = moneta onesta, NOn = non onesta): $P(X_i = 1, X_j = 1) = P(X_i = 1, X_j = 1|On)P(On) + P(X_i = 1, X_j = 1|NOn)P(NOn) = 1/3^2 1/2 + (2/3)^2 1/2
OK
per il punto (b) ho pensato di fare un ragionamento simile a quello del punto (a).
Cerco $P(X = k) =P(X=k|On)P(On) + P(X=k|NOn)P(NOn) = 1/2 ((n),(k))(1 - 1/3)^(n-k)1/3^k + 1/2 ((n),(k))(1 - 2/3)^(n-k)(2/3)^k$
la cui media è: $E[X] = 1/2n1/3 + 1/2n2/3 = n/2$
e varianza: $var(X) = 1/2 n 1/3 2/3 + 1/2 n 2/3 1/3 = n 2/9 $
Cerco $P(X = k) =P(X=k|On)P(On) + P(X=k|NOn)P(NOn) = 1/2 ((n),(k))(1 - 1/3)^(n-k)1/3^k + 1/2 ((n),(k))(1 - 2/3)^(n-k)(2/3)^k$
la cui media è: $E[X] = 1/2n1/3 + 1/2n2/3 = n/2$
e varianza: $var(X) = 1/2 n 1/3 2/3 + 1/2 n 2/3 1/3 = n 2/9 $
"andra_zx":
e varianza: $var(X) = 1/2 n 1/3 2/3 + 1/2 n 2/3 1/3 = n 2/9 $
Non mi torna la varianza. Manca un termine in $n^2$.
Potresti anche usare la legge della varianza totale.
Sul primo punto, se sapessimo che esce la moneta con $p=1/3$, la covarianza tra $X_{i}$ e $X_{j}$ sarebbe nulla.
Analogamente, dato che è uscita la moneta con $p=2/3$, pure si avrebbe covarianza nulla.
Eppure, in assenza di tale informazione, risultano correlate (dipendenti).
Trovo questa cosa dura da accettare, a livello intuitivo.
Eppure non posso non credere ai passaggi matematici.
"cenzo":
Sul primo punto, se sapessimo che esce la moneta con $p=1/3$, la covarianza tra $X_{i}$ e $X_{j}$ sarebbe nulla.
Analogamente, dato che è uscita la moneta con $p=2/3$, pure si avrebbe covarianza nulla.
Eppure, in assenza di tale informazione, risultano correlate (dipendenti).
Trovo questa cosa dura da accettare, a livello intuitivo.
Eppure non posso non credere ai passaggi matematici.
La questione è che la moneta viene scelta all'inizio è verrà utilizzata per tutti i lanci.
Se invece peschi una moneta e poi la lanci. Ributti la moneta dentro, ne peschi una e la lanci. Così ritorni in prove bernuolliane.
Pensa di fare un milione di lance e di avere una proporzione di successi vicina a 2/3; che distribuzione daresti al prossimo lancio?
io ho semplicemente applicato la varianza alle prob condizionate dopo la scelta della moneta. Quelle a mio avviso, e confermata da alcuni esempi in classe, sono le vere binomiali.. Però adesso mi sorge un dubbio: se appunto applico l' operatore varianza scrivendo: $var(X) = var(P(X=k|On)1/2 + P(X=k|NOn)1/2) = 1/4 var(P(X=k|On)) + 1/4var(P(X=k|NOn)) = 1/4 n1/3 2/3 + 1/4 n2/3 1/3 $ o no ?
"andra_zx":
$var(X) = var(P(X=k|On)1/2 + P(X=k|NOn)1/2)$
Non ho compreso questa formula. Applichi la varianza alle probabilità invece che alla variabile aleatoria ?
Io ho usato $Var[X]=E[X^2]-E[X]^2$
"DajeForte":
Pensa di fare un milione di lance e di avere una proporzione di successi vicina a 2/3; che distribuzione daresti al prossimo lancio?
Onestamente, risponderei Bernoulli con $p=2/3$
Credo ora mi è più chiaro perchè la covarianza tra $X_i$ e $X_j$ non è nulla.
Se la moneta è del primo tipo avrei tendenzialmente $X_i$ e $X_j$ uguale a 1/3, sotto la media 1/2
Se invece la moneta è del secondo tipo avrei $X_i$ e $X_j$ uguale a 2/3, sopra la media 1/2. Quindi correlazione.
si scusa mi sono espresso decisamente male
l' ho applicata alle variabili risultanti dopo la scelta della moneta..
l' ho applicata alle variabili risultanti dopo la scelta della moneta..
Scusa se posto la mia soluzione, il problema interessa anche me e vorrei verificare se è corretta
Applico la formula $Var(Y)=E(Var(Y|X))+Var(E(Y|X))$
Se esce la moneta tipo 1 ho $E(Y|X)=1/3n$ e $Var(Y|X)=n*1/3*2/3=2/9n$ con $p(X)=1/2$
Se esce la moneta tipo 2 ho $E(Y|X)=2/3n$ e $Var(Y|X)=n*2/3*1/3=2/9n$ con $p(X)=1/2$
Si ha inoltre $E(Y)=n/2$ (questo torna ad entrambi)
Quindi $E(Var(Y|X))=2/9n*1/2+2/9n*1/2=2/9n$
Mentre $Var(E(Y|X))=(1/3n-n/2)^2*1/2+(2/3n-n/2)^2*1/2=n^2/36$
Sommando: $Var(Y)=2/9n+n^2/36$
Sono pervenuto allo stesso risultato anche con $Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2$, dove $E(Y)=n/2$ e $E(Y^2)=\sum_{k=0}^{n}k^2*P(Y=k)$
con $P(Y=k)$ lo stesso che hai calcolato qui:
Applico la formula $Var(Y)=E(Var(Y|X))+Var(E(Y|X))$
Se esce la moneta tipo 1 ho $E(Y|X)=1/3n$ e $Var(Y|X)=n*1/3*2/3=2/9n$ con $p(X)=1/2$
Se esce la moneta tipo 2 ho $E(Y|X)=2/3n$ e $Var(Y|X)=n*2/3*1/3=2/9n$ con $p(X)=1/2$
Si ha inoltre $E(Y)=n/2$ (questo torna ad entrambi)
Quindi $E(Var(Y|X))=2/9n*1/2+2/9n*1/2=2/9n$
Mentre $Var(E(Y|X))=(1/3n-n/2)^2*1/2+(2/3n-n/2)^2*1/2=n^2/36$
Sommando: $Var(Y)=2/9n+n^2/36$
Sono pervenuto allo stesso risultato anche con $Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2$, dove $E(Y)=n/2$ e $E(Y^2)=\sum_{k=0}^{n}k^2*P(Y=k)$
con $P(Y=k)$ lo stesso che hai calcolato qui:
"andra_zx":
$P(X = k) =P(X=k|On)P(On) + P(X=k|NOn)P(NOn) = 1/2 ((n),(k))(1 - 1/3)^(n-k)1/3^k + 1/2 ((n),(k))(1 - 2/3)^(n-k)(2/3)^k$
sinceramente non saprei cosa dire, non ho mai usato la formula della varianza totale.
Inoltre seconde me si può agire in un altro modo per togliere ogni dubbio su chi ha ragione
Pongo $X$ la v.a. generale, $Y$ la binomiale dei lanci con una moneta, e $Z$ la binomiale risultante dalla seconda moneta.
Allora immagino si possa scrivere $X = 1/2 Y + 1/2 Z$ essendo quello che risulta dalla probabilità totale.
A questo punto $var(X) = 1/4 var(Y) + 1/4 var(Z) + 2cov(YZ)$ rimane da capire se la covarianza è zero oppure no.. io a "sentimento" direi ce vale zero in quanto secondo me $Y$ e $Z$ sono indipendenti, ma purtroppo ho sempre una gran difficoltà a trovare le prob congiunte (in questo caso di Y e Z) per verificarne l' indipendenza..
Inoltre seconde me si può agire in un altro modo per togliere ogni dubbio su chi ha ragione
Pongo $X$ la v.a. generale, $Y$ la binomiale dei lanci con una moneta, e $Z$ la binomiale risultante dalla seconda moneta.
Allora immagino si possa scrivere $X = 1/2 Y + 1/2 Z$ essendo quello che risulta dalla probabilità totale.
A questo punto $var(X) = 1/4 var(Y) + 1/4 var(Z) + 2cov(YZ)$ rimane da capire se la covarianza è zero oppure no.. io a "sentimento" direi ce vale zero in quanto secondo me $Y$ e $Z$ sono indipendenti, ma purtroppo ho sempre una gran difficoltà a trovare le prob congiunte (in questo caso di Y e Z) per verificarne l' indipendenza..
Io sono giunto allo stesso risultato (con un approccio alternativo) ovvero $ VAR(Y) = \frac{1}{36} n^2 + \frac{2}{9}n $
$ VAR(Y) = VAR(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n VAR(X_i) + n(n-1)COV(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \ cdot \frac{1}{2} + n(n-1) \cdot (\frac{5}{18} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{36} n^2 + \frac{2}{9}n$
In pratica ho sommato le varianze aggiungendo le covarianze di tutte le n(n-1) coppie $(X_i,X_j)$
$ VAR(Y) = VAR(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n VAR(X_i) + n(n-1)COV(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \ cdot \frac{1}{2} + n(n-1) \cdot (\frac{5}{18} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{36} n^2 + \frac{2}{9}n$
In pratica ho sommato le varianze aggiungendo le covarianze di tutte le n(n-1) coppie $(X_i,X_j)$
@pierloz
Bello l'approccio che hai seguito, più semplice e sfrutta i risultati precedenti.
Bello l'approccio che hai seguito, più semplice e sfrutta i risultati precedenti.
"cenzo":
@pierloz
Bello l'approccio che hai seguito, più semplice e sfrutta i risultati precedenti.
grazie
è stato molto confortante vedere che i risultati coincidono
"andra_zx":
Allora immagino si possa scrivere $X = 1/2 Y + 1/2 Z$ essendo quello che risulta dalla probabilità totale.
Non puoi scriverle così. Se vuoi scriverla così una maniera potrebbe essere usare due funzioni indicatrici che ti attivano due binomiali a seconda della moneta.
Ti conviene usare però i metodi che ti hanno detto.
eh si immaginavo fosse una strada un pò azzardata..
pierloz puoi spiegarmi perché assumi che la P(Moneta=moneta1)=P(Moneta=moneta2)=1/2???
non mi torna... se ci pensi bene questo vale solo al primo lancio ma già al secondo non è più così!
se al primo lancio esce testa al secondo la probabilità che venga usata la moneta2 è più alta rispetto a quella che venga usata la moneta1...
infatti se è uscita T al primo lancio è più facile che essa derivi dalla moneta2 che ha p(T)=2/3 e quindi la P(al secondo lancio si usi la moneta2|T al 1 lancio)>P(al secondo lancio si usi la moneta1|T al 1 lancio)
ovviamente le probabilità sono invertite se al primo lancio è uscita testa!
questo è confermato dal fatto che le variabili $ X_i $ non sono indipendenti...
non mi torna... se ci pensi bene questo vale solo al primo lancio ma già al secondo non è più così!
se al primo lancio esce testa al secondo la probabilità che venga usata la moneta2 è più alta rispetto a quella che venga usata la moneta1...
infatti se è uscita T al primo lancio è più facile che essa derivi dalla moneta2 che ha p(T)=2/3 e quindi la P(al secondo lancio si usi la moneta2|T al 1 lancio)>P(al secondo lancio si usi la moneta1|T al 1 lancio)
ovviamente le probabilità sono invertite se al primo lancio è uscita testa!
questo è confermato dal fatto che le variabili $ X_i $ non sono indipendenti...
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