La distribuzione normale
Vorrei capire come si risolve l'integrale della distribuzione normale. C'e qualcuno che potrebbe aiutarmi in qualche modo? Con un libro, link... qualcosa?
Purtroppo fin adesso l'unica informazione che ho trovato in alcuni libri e':"un integrale non risolvibile in forma chiusa" oppure "essendo particolarmente difficile da risolvere si fa... questo... quello". Bene, pero nessun libro a qui ho accesso mi spiege come, perche, ecc... Altri saltano direttamente alle variabili standardizzate e tabelle senza nemmeno accennare come mai.
Certamente, non mi serve per l'esame ma la curiosita mi e' venuta. "Accetta per fede" non mi piace come concetto.
Grazie.
Purtroppo fin adesso l'unica informazione che ho trovato in alcuni libri e':"un integrale non risolvibile in forma chiusa" oppure "essendo particolarmente difficile da risolvere si fa... questo... quello". Bene, pero nessun libro a qui ho accesso mi spiege come, perche, ecc... Altri saltano direttamente alle variabili standardizzate e tabelle senza nemmeno accennare come mai.
Certamente, non mi serve per l'esame ma la curiosita mi e' venuta. "Accetta per fede" non mi piace come concetto.
Grazie.
Risposte
"argandus":
Vorrei capire come si risolve l'integrale della distribuzione normale. C'e qualcuno che potrebbe aiutarmi in qualche modo? Con un libro, link... qualcosa?
Qualche link da wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_dis ... normal_CDF
http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function
Grazie cenzo, ma non spiega abbastanza il perche delle scelte... continuero a cercare.
CIOA C' è QUALCUNO CHE S AFARE QUESTO ESERCIZO IL TESTO è : VARIABILE ALEATORIA CONTINUA X CON UNA FUNZIONE DI DENSTIà DI PROBALITà
3X -3X^2/2 0
CALCOLARE LA PROBALITà CHE X ASSUMA VALORI NELL INTREVALLO (0,0.5) GRZ TANTO A CHI MI AIUTERRà
3X -3X^2/2 0
CALCOLARE LA PROBALITà CHE X ASSUMA VALORI NELL INTREVALLO (0,0.5) GRZ TANTO A CHI MI AIUTERRà
ti consiglio di aprire un altro topic, di scrivere in maniera più chiara il testo del problema (evita se possibile il maiuscolo) e di provare a dire come lo risolveresti tu
[mod="fu^2"]ciao enzo,
itpareid ti ha detto penso tutto. Sei caldamente invitato a seguire il suo consiglio.
Inoltre sarebbe opportuno che tu scrivessi i tuoi tentativi di risolvere l'esercizio: almeno uno se vuole aiutarti può farlo meglio.
Grazie della comprensione.[/mod]
itpareid ti ha detto penso tutto. Sei caldamente invitato a seguire il suo consiglio.
Inoltre sarebbe opportuno che tu scrivessi i tuoi tentativi di risolvere l'esercizio: almeno uno se vuole aiutarti può farlo meglio.
Grazie della comprensione.[/mod]
"DajeForte":
Se intendi l'integrale su $RR$ vedi qua
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss
Anche, solo che a me serve capire come si risolve per un dato intervallo, e non su tutto R. Il perche i libri di statistica sostengono che e difficile da risolvere e cosi via.
"argandus":
Anche, solo che a me serve capire come si risolve per un dato intervallo, e non su tutto R. Il perche i libri di statistica sostengono che e difficile da risolvere e cosi via.
Perché la funzione integranda (la "gaussiana") non è elementarmente integrabile. E' conseguenza di un risultato generale dovuto a Liouville
Vedi ad esempio la domanda qui:
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 604AAqJHTx
ed il riferimento indicato:
http://www.apav.it/sito_ratio/file_pdf/ ... tolo_3.pdf
(Non sono riuscito a trovare di meglio in rete).
C'è anche una tesi di laurea triennale in rete che ne parla:
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/w ... i/tesi.pdf
Io ho trovato questa spiegazione (oggi) in un corso di Analisi (premetto che l'ho "appena" vista e quindi non sono sicurissimo su come riportare la spiegazione):
Sappiamo che la funzione $e^x$ ha come sviluppo in serie $\sum_{k=0}^infty x^k/(k!)$
La funzione $e^(-x^2)$ la possiamo vedere come funzione composta di $e^t$ e $-x^2$. Ora vogliamo svilupparla secondo Taylor (centrata in $0$) con una cosa del tipo $\sum_{k=0}^infty (f^(n)(x))/(k!)x^k$ dove $f^(n)$ è la derivata di ordine n-imo. Se facciamo le varie derivate e le calcoliamo in $0$ scopriamo che quelle dispari danno $0$ e quelle pari $-2$. Ad esempio $f'(x)=-2xe^(-x^2)$ che in $0$ vale $0$ e $f''(x)=-2e^(-x^2)+4x^2e^(-x^2)$ che in $0$ vale $-2$ e via così.
Sulla base di tutte queste considerazioni possiamo arrivare a $e^(-x^2)=\sum_{k=0}^infty (-(x^2)^k)/(k!)=\sum_{k=0}^infty ((-1)^kx^(2k))/(k!)$
Allora $\int_{a}^b e^(-x^2) dx$ per i teoremi sull'integrazione delle serie è $\int_{a}^b \sum_{k=0}^infty ((-1)^kx^(2k))/(k!) = \sum_{k=0}^infty (-1)^k/(k!) \int_{a}^b x^(2k) dx = \sum_{k=0}^infty (-1)^k/(k!) * 1/(2k+1) [b^(2k+1)-a^(2k+1)]$ e con questo si può calcolare la probabilità in un intervalo $[a,b]$.
Sappiamo che la funzione $e^x$ ha come sviluppo in serie $\sum_{k=0}^infty x^k/(k!)$
La funzione $e^(-x^2)$ la possiamo vedere come funzione composta di $e^t$ e $-x^2$. Ora vogliamo svilupparla secondo Taylor (centrata in $0$) con una cosa del tipo $\sum_{k=0}^infty (f^(n)(x))/(k!)x^k$ dove $f^(n)$ è la derivata di ordine n-imo. Se facciamo le varie derivate e le calcoliamo in $0$ scopriamo che quelle dispari danno $0$ e quelle pari $-2$. Ad esempio $f'(x)=-2xe^(-x^2)$ che in $0$ vale $0$ e $f''(x)=-2e^(-x^2)+4x^2e^(-x^2)$ che in $0$ vale $-2$ e via così.
Sulla base di tutte queste considerazioni possiamo arrivare a $e^(-x^2)=\sum_{k=0}^infty (-(x^2)^k)/(k!)=\sum_{k=0}^infty ((-1)^kx^(2k))/(k!)$
Allora $\int_{a}^b e^(-x^2) dx$ per i teoremi sull'integrazione delle serie è $\int_{a}^b \sum_{k=0}^infty ((-1)^kx^(2k))/(k!) = \sum_{k=0}^infty (-1)^k/(k!) \int_{a}^b x^(2k) dx = \sum_{k=0}^infty (-1)^k/(k!) * 1/(2k+1) [b^(2k+1)-a^(2k+1)]$ e con questo si può calcolare la probabilità in un intervalo $[a,b]$.
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