Introduzione alle variabili aleatorie

[jakojako]

Salve,
sto cercando di trasferire a dei liceali il concetto di variabile aleatoria. Tuttavia è chiaro che non posso utilizzare concetti quali la misurabilità. Perciò vorrei chiedere come fareste voi ad esporre in maniera pur sempre rigorosa un concetto così importante a degli studenti che sono privi di conoscenze matematiche specifiche. Grazie anticipatamente!

[Lo_zio_Tom]

[xdom="tommik"]ciao jakojako
mi spiegheresti cortesemente che differenza sostanziale vi è fra il presente topic e questo?

lo sai che il regolamento vieta espressamente il crossposting? (art 3.12)[/xdom]


ciò premesso, la tua è una domanda troppo generica

1) liceali di che anno?

2) hanno il concetto di funzione?

3) hanno già il concetto di integrale?

le variabili aleatorie vengono introdotte anche in Istituti Tecnici (tipo ragioneria), ovviamente per il caso discreto: evento lancio di un dado, estrazioni da un'urna ecc ecc:

Puoi definire:

1) gli assiomi della probabilità

2) da un evento definito "a parole" descrivi lo spazio campionario, associ ad ogni evento un numero compreso fra zero e uno (probabilità) in modo tale che la somma di questi numeri sia uno.

[jakojako]

Supponendo che abbia a che fare con degli alunni di quinta liceo e che voglia parlare loro delle variabili aleatorie discrete, in particolare della distribuzione di Bernoulli, comunque dovrei fornire loro una definizione di variabile aleatoria. Quindi dovrei introdurre il concetto di misura e affermare che una variabile aleatoria è una funzione tale che la controimmagine di un intervallo di $mathbb R$ sia un insieme misurabile della sigma algebra. Conviene dunque limitarsi a un'idea intuitiva di variabile aleatoria? Per mezzo di un esempio magari? Grazie

[Lo_zio_Tom]

Io non faccio l'insegnante, ma farei così:

Definiamo $Omega$ come lo spazio degli eventi

$Omega:{omega_1,omega_2,...,omega_n}$

Definiamo numero aleatorio qualunque funzione che, ad ogni evento elementare di $Omega$ , $omega_i$, assegna un numero reale.

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Esempio: Lancio di una moneta

$Omega:{T,C}$

$X$: {numero di Teste}

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Possiamo pensare di assegnare ad ogni numero reale una probabilità (vedi assiomi della probabilità), ad esempio

$P(X=0)=1/2$

$P(X=1)=1/2$

tale assegnazione deve rispettare determinati principi (es: coerenza) ma all'interno di tali condizioni possiamo assegnare il numero che vogliamo:

1) Impostazione Classica: $(# f a v o r e v o l i)/(# p o s s i b i l i)$

2) Impostazione frequentista: lancio la moneta 100 volte ed assegno a testa e croce le frequenze (%) trovate

3) impostazione Soggettivistica: si usa il teorema di Bayes -> Statistica Bayesiana che unisce i dati della distribuzione a priori con l'esperienza fornita dall'analisi dei dati (verosimiglianza)[nota]qui ovviamente il concetto si complica un po'[/nota]

Abbiamo quindi definito una "Variabile Casuale"

$X-={{: ( 0 , 1 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$

Tale variabile rispetta determinate condizioni:

$0<=p<=1 AAp$

$sum_i p_i=1$

Essendo X una funzione non può associare ad un evento due valori né è possibile che a qualche evento non venga associato alcun numero. Più in generale otterremo:

$X-={{: ( x_1 , x_2 , ... , x_n ),( p(x_1) , p(x_2) , ... , p(x_n) ) :}$

dove, come di consueto,


${{: ( p(x_i)>=0AAx_i ),(sum_ip(x_i)=1 ) :}$

La $X$ può assumere un numero finito di valori oppure una infinità numerabile; in tal caso si parla di variabile casuale discreta.


Es: lanciamo 10 volte una moneta e contiamo il numero di teste -> si introduce la Binomiale

Es: Numero dei lanci necessari ad ottenere per la prima volta Testa -> si introduce la Geometrica

ecc ecc

[jakojako]

Non ho colto cosa intendi, perdonami...

[jakojako]

Sorry. Mi è arrivata la notifica di risposta quando avevi scritto solo il primo rigo. Ti ringrazio per la tua idea comunque e la terrò presente. Scusa il disturbo!