Intervallo di confidenza distribuzione esponenziale
Ciao a tutti,
non riesco a capire come risolvere l'esercizio sottostante in quanto sul mio libro di testo trovo come intervallo di confidenza per una distribuzione di tipo esponenziale questa formula:
$ ((2sum(x)_i)/ (chi_(alpha/2,2n))^2 ; (2sum(x)_i)/ (chi_(1-alpha/2,2n))^2) $ (nel dominatore intendo chi-quadro)
ma sul web ho trovato alcuni esempi in cui ci si riconduce da una esponenziale ad una normale:
$ X~ Expo(lambda) rArr X ~N(1/lambda;1/lambda^2) $
Allo stesso tempo però mi han consigliato di sfruttare gli stimatori di max verosimiglianza solo che non ho capito come...
Sapreste aiutarmi?
Si consideri un campione casuale X1; ... ;Xn da una popolazione esponenziale di parametro $ lambda $ . Sapendo che
n = 45 e Xn = 13.2, si calcoli l'intervallo di con denza asintotico al 99% per il parametro $ lambda $ .
non riesco a capire come risolvere l'esercizio sottostante in quanto sul mio libro di testo trovo come intervallo di confidenza per una distribuzione di tipo esponenziale questa formula:
$ ((2sum(x)_i)/ (chi_(alpha/2,2n))^2 ; (2sum(x)_i)/ (chi_(1-alpha/2,2n))^2) $ (nel dominatore intendo chi-quadro)
ma sul web ho trovato alcuni esempi in cui ci si riconduce da una esponenziale ad una normale:
$ X~ Expo(lambda) rArr X ~N(1/lambda;1/lambda^2) $
Allo stesso tempo però mi han consigliato di sfruttare gli stimatori di max verosimiglianza solo che non ho capito come...
Sapreste aiutarmi?
Si consideri un campione casuale X1; ... ;Xn da una popolazione esponenziale di parametro $ lambda $ . Sapendo che
n = 45 e Xn = 13.2, si calcoli l'intervallo di con denza asintotico al 99% per il parametro $ lambda $ .
Risposte
la formula che hai trovato sul libro per questo esercizio non ti serve a nulla. Il testo infatti non ti chiede di trovare l'intervallo di confidenza ma "l'intervallo di confidenza asintotico" quindi:
1) qual è lo stimatore di massima verosimiglianza di $lambda$?
2) che distribuzione asintotica ha $hat(lambda)_(ML)$ ?
3) risposto alle domande precedenti, semplicemente applicando il metodo della quantità pivotale risolvi il problema
Ps: la soluzione trovata sul web non è molto distante da una soluzione corretta al tuo problema....con qualche precisazione e modifica, ovviamente.
con questo indirizzamento e con un po' di ragionamento sicuramente risolverai tutto in autonomia..
1) qual è lo stimatore di massima verosimiglianza di $lambda$?
2) che distribuzione asintotica ha $hat(lambda)_(ML)$ ?
3) risposto alle domande precedenti, semplicemente applicando il metodo della quantità pivotale risolvi il problema
Ps: la soluzione trovata sul web non è molto distante da una soluzione corretta al tuo problema....con qualche precisazione e modifica, ovviamente.
con questo indirizzamento e con un po' di ragionamento sicuramente risolverai tutto in autonomia..
Ho svolto i seguenti calcoli per arrivare a trovare lo stimatore di max verosimiglianza di una disturb. esponenziale:
$ f(x)=lambdae^(-lamdax) $
$ f(x_i,lambda)=prod_(i = 1)^(n) lambda e^(-lamdax_i)= lambda^n e^(lambdasum(x_i) $
$ log(x_i,lambda)=nloglambda-lambdasum(x_i) $
$ (partiallog(x_i,lambda))/(partiallambda)=n/lambda-sum(x_i)=0 $
$ 1/lambda=(sum(x_i))/n = X_n $ (media campionaria)
Poi riconducendomi ad una distribuzione normale come dicevo prima sono arrivato qui:
$ (lambda_(ML)+-Z_(alpha/2)(1/lambda)/root()(n)) $
con $ lambda_(ML) $ stimatore di max verosimiglianza di $lambda$
Non so se sia giusto...
$ f(x)=lambdae^(-lamdax) $
$ f(x_i,lambda)=prod_(i = 1)^(n) lambda e^(-lamdax_i)= lambda^n e^(lambdasum(x_i) $
$ log(x_i,lambda)=nloglambda-lambdasum(x_i) $
$ (partiallog(x_i,lambda))/(partiallambda)=n/lambda-sum(x_i)=0 $
$ 1/lambda=(sum(x_i))/n = X_n $ (media campionaria)
Poi riconducendomi ad una distribuzione normale come dicevo prima sono arrivato qui:
$ (lambda_(ML)+-Z_(alpha/2)(1/lambda)/root()(n)) $
con $ lambda_(ML) $ stimatore di max verosimiglianza di $lambda$
Non so se sia giusto...
evidentemente no.
a parte il fatto che non si vede quale sia $hat(lambda)$ ma lo posso intuire dato che i calcoli dello stimatore sono giusti
....ma hai trovato un intervallo di confidenza che dipende ancora dal parametro da stimare....il che è un'aberrazione.
Lo stimatore è $hat(lambda)=1/bar(X)$
quindi ora devi sapere come si distribuisce asintoticamente $1/bar(X)$ (che come hai intuito si distribuisce normalmente) ma con che media? e con che varianza? O lo sai o devi fare i conti....che non sono proprio immediati...dato che devi conoscere la distribuzione di $1/(SigmaX)$
una volta noto questo devi usare la quantità pivotale corretta....ed arrivare ad un intervallo di confidenza....ma l'intervallo mica può dipendere ancora dallo stimatore.
a parte il fatto che non si vede quale sia $hat(lambda)$ ma lo posso intuire dato che i calcoli dello stimatore sono giusti
....ma hai trovato un intervallo di confidenza che dipende ancora dal parametro da stimare....il che è un'aberrazione.
Lo stimatore è $hat(lambda)=1/bar(X)$
quindi ora devi sapere come si distribuisce asintoticamente $1/bar(X)$ (che come hai intuito si distribuisce normalmente) ma con che media? e con che varianza? O lo sai o devi fare i conti....che non sono proprio immediati...dato che devi conoscere la distribuzione di $1/(SigmaX)$
una volta noto questo devi usare la quantità pivotale corretta....ed arrivare ad un intervallo di confidenza....ma l'intervallo mica può dipendere ancora dallo stimatore.
Ho riguardato lo svolgimento:
$ lambda_(ML)=1/X_N $ stimatore di max verosim.
$ X~ N(1/lambda,1/(nlambda^2)) $
ottenendo tramite la normale: $ (bar(X) -1/lambda)/(1/(lambdaroot()(n)) $
Infine ho costruito questo intervallo: $ (1/bar(X)+-1/bar(X)(Z_(alpha/2))/root()(n)) $
$ lambda_(ML)=1/X_N $ stimatore di max verosim.
$ X~ N(1/lambda,1/(nlambda^2)) $
ottenendo tramite la normale: $ (bar(X) -1/lambda)/(1/(lambdaroot()(n)) $
Infine ho costruito questo intervallo: $ (1/bar(X)+-1/bar(X)(Z_(alpha/2))/root()(n)) $
pag 394 del Mood Graybill Boes....
saluti
saluti
Ho notato che l'intervallo da me ricavato é solamente più ristretto di quello dell'esempio da te proposto.
Grazie
Saluti
Grazie
Saluti
"Tomg4":
Ho notato che l'intervallo da me ricavato é solamente più ristretto di quello dell'esempio da te proposto.
...e questo dovrebbe farti riflettere sul fatto che la tua soluzione non ha alcun senso....a meno che tu non sia il nuovo Ramanujan
Nel tuo ragionamento hai fatto molti errori, alcuni anche gravi e grossolani.
1) la formula dell'intervallo di confidenza che hai diligentemente copiato dal libro è sbagliata se non correttamente contestualizzata. E' l'intervallo di confidenza per la media di una esponenziale....mentre tu sei interessato alla stima del parametro...
2) per risolvere il problema asintotico, in prima istanza devi calcolare media e varianza del tuo stimatore
$T=n/(Sigma_(i)x_(i))$
Qual è $E(T)$???
Qual è $V(T)$???
ovviamente la media di $T$ non è affatto $1/lambda$ come indichi tu nella normale....ma non è nemmeno $lambda$ come dice l'esempio che ti ho mostrato...la media di $T$ "tende" a $lambda$ per $n rarr +oo$
Quindi prima la devi calcolare....e poi ne devi fare il limite.....stessa cosa per la varianza....come puoi notare dall'esempio proposto, il testo fa riferimento a dimostrazioni precedenti e comunque passa attraverso il membro di destra della Cramer Rao.....
Oppure, alternativamente, senza fare tutti questi conti (che comunque non sono proibitivi e ti chariscono le idee) devi passare attraverso le proprietà asintotiche degli stimatori di MV
quindi.....ti conviene studiare un po' di più per chiarirti le idee e soprattutto dovresti evitare di ricopiare formule trovate qua e là senza averne pienamente compreso il significato teorico sottostante
Per quanto riguarda lo svolgimento ti indico brevemente la strada.....
Abbiamo trovato che $T=n/(Sigma_(i)x_(i))$ è lo stimatore del parametro $lambda$ della seguente densità $f(x)=lambdae^(-lambdax)$ relativamente ad un campione casuale di ampiezza n
$E(T)=nE(1/(Sigma_(i)x_(i)))=nE(1/Y)=nint_(0)^(+oo)1/y lambda^n/(Gamma(n)) y^(n-1)e^(-ylambda)dy=$
$=n/(n-1)lambdaint_(0)^(+oo)lambda^(n-1)/(Gamma(n-1))y^((n-1)-1)e^(-lambday)dy=n/(n-1)lambda$
e quindi $lim_(n->+oo)E(T)=lambda$
stessa procedura, anche se un po' più articolata, per il calcolo della varianza.
ora puoi capire che quanto da te scritto
"Tomg4":
Ho riguardato lo svolgimento:
$ lambda_(ML)=1/X_N $ stimatore di max verosim.
$ X~ N(1/lambda,1/(nlambda^2)) $
.... è un procedimento del tutto errato
ottimo esercizio per chiarire ogni dubbio
Meno male che qualcuno legge ciò che scrivo. ...
sappi che sei molto molto importante per Noi poveri utenti 
), a dir poco fondamentale
), a dir poco fondamentale
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