Intervallo di confidenza
Salve a tutti, da due giorni ormai non riesco a risolvere il punto b di questo esercizio, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Si vogliono confrontare due tipi di vernici fosforescenti utilizzate per strumenti di misura. A questo fine vengono
verniciati 5 strumenti con la vernice di tipo A e altri 5 con la vernice di tipo B. In seguito gli strumenti vengono
illuminati con luce ultravioletta e viene misurato il tempo di fosforescenza dopo che la sorgente luminosa µe stata
rimossa. Si ottengono i seguenti tempi (in minuti):
Vernice A 65 70 59 62 64+h
Vernice B 64 65 71 75 73
(a) Supponendo che i due campioni seguano una distribuzione Normale con uguale varianza, eseguire un test d'ipotesi
per veri¯care se le due vernici risultano avere lo stesso tempo medio di fosforescenza ad un livello di significatività
alfa = 0.01
(b) Si consideri il campione A. Determinare un intervallo di confidenza per il tempo medio di fosforescenza, al livello
di fiducia 1 - alfa = 0:98.
(c) Determinare la numerosità campionaria affinchè l'ampiezza dell'intervallo di confidenza determinato al punto
precedente risulti dimezzata.
In particolare ho provato (per il punto b si intende)ad usare una distribuzione t di student ma non arrivo mai ad ottenere
l'intervallo di confidenza [54.896; 73.104] che è dato come soluzione dell'esercizio.
gli unici dati di cui son certo sono alfa=0.002, le medie campionarie e le due varianze campionarie
Che varianza trovate?
Quelle campionarie sono note ma il fatto che il testo dica che i due campioni seguono una distribuzione normale con uguale varianza
mi fa sorgere il dubbio che deba usare un ragioanemtno particolare che io non conosco.
Help!
Si vogliono confrontare due tipi di vernici fosforescenti utilizzate per strumenti di misura. A questo fine vengono
verniciati 5 strumenti con la vernice di tipo A e altri 5 con la vernice di tipo B. In seguito gli strumenti vengono
illuminati con luce ultravioletta e viene misurato il tempo di fosforescenza dopo che la sorgente luminosa µe stata
rimossa. Si ottengono i seguenti tempi (in minuti):
Vernice A 65 70 59 62 64+h
Vernice B 64 65 71 75 73
(a) Supponendo che i due campioni seguano una distribuzione Normale con uguale varianza, eseguire un test d'ipotesi
per veri¯care se le due vernici risultano avere lo stesso tempo medio di fosforescenza ad un livello di significatività
alfa = 0.01
(b) Si consideri il campione A. Determinare un intervallo di confidenza per il tempo medio di fosforescenza, al livello
di fiducia 1 - alfa = 0:98.
(c) Determinare la numerosità campionaria affinchè l'ampiezza dell'intervallo di confidenza determinato al punto
precedente risulti dimezzata.
In particolare ho provato (per il punto b si intende)ad usare una distribuzione t di student ma non arrivo mai ad ottenere
l'intervallo di confidenza [54.896; 73.104] che è dato come soluzione dell'esercizio.
gli unici dati di cui son certo sono alfa=0.002, le medie campionarie e le due varianze campionarie
Che varianza trovate?
Quelle campionarie sono note ma il fatto che il testo dica che i due campioni seguono una distribuzione normale con uguale varianza
mi fa sorgere il dubbio che deba usare un ragioanemtno particolare che io non conosco.
Help!
Risposte
"Pablo":
Vernice A 65 70 59 62 64+h
In particolare ho provato (per il punto b si intende)ad usare una distribuzione t di student ma non arrivo mai ad ottenere
l'intervallo di confidenza [54.896; 73.104] che è dato come soluzione dell'esercizio.
gli unici dati di cui son certo sono alfa=0.002, le medie campionarie e le due varianze campionarie
Che varianza trovate?
Quelle campionarie sono note ma il fatto che il testo dica che i due campioni seguono una distribuzione normale con uguale varianza
mi fa sorgere il dubbio che deba usare un ragioanemtno particolare che io non conosco.
Caro Pablo, dipende da quale valore dai ad h (penso sia qualcosa per differenziare i compiti..
)Credo poi che l'esercizio voglia farti usare la normale, non la t di student.
Attento poi che $\alpha/2=0.01$ ( e non alfa=0.002, vedo uno zero in più)
Per la varianza, mi limiterei alla varianza del campione A.
grazie:)
Si ho messo uno zero in piu'. Ho anche usato la normale ma mi viene in ogni caso un intervallo di confidenza sbagliato.
h nella soluzione proposta vale 0.
Ho poco tempo, pero ho provato a costruire un intervalli di confidenza anche con la normale del tipo
$ X +- Z_{ {alfa}/2} sigma_X $
dove
$Z_{ {alfa}/2}$ è il quantile
$ sigma_X=sigma / sqrt n $
dove $sigma_X$ è la deviazione e x la media campionaria
$sigma$ è la deviazione campionaria
In ogni caso non mi viene.
E poi essnedo il campione poco numeroso non si dodvrebbe usare la t di student?
Si ho messo uno zero in piu'. Ho anche usato la normale ma mi viene in ogni caso un intervallo di confidenza sbagliato.
h nella soluzione proposta vale 0.
Ho poco tempo, pero ho provato a costruire un intervalli di confidenza anche con la normale del tipo
$ X +- Z_{ {alfa}/2} sigma_X $
dove
$Z_{ {alfa}/2}$ è il quantile
$ sigma_X=sigma / sqrt n $
dove $sigma_X$ è la deviazione e x la media campionaria
$sigma$ è la deviazione campionaria
In ogni caso non mi viene.
E poi essnedo il campione poco numeroso non si dodvrebbe usare la t di student?
"Pablo":
h nella soluzione proposta vale 0.
Non credo. Dai un'occhiata a questo file.
(pagina 2: la soluzione non è la stessa che hai riportato tu)
"Pablo":
E poi essnedo il campione poco numeroso non si dodvrebbe usare la t di student?
Se la popolazione è normale (lo afferma al punto a, ipotizzo che sia così anche per il b) allora anche la media è sicuramente normale indipendentemente dalla numerosità.
Edit: mi devo correggere. Mi sembra giusto usare la t di student, in quanto la varianza della popolazione è incognita: ne abbiamo solo una stima da campione.
"cenzo":
[quote="Pablo"]h nella soluzione proposta vale 0.
Non credo. Dai un'occhiata a questo file.
(pagina 2: la soluzione non è la stessa che hai riportato tu)
"Pablo":
E poi essnedo il campione poco numeroso non si dodvrebbe usare la t di student?
Se la popolazione è normale (lo afferma al punto a, ipotizzo che sia così anche per il b) allora anche la media è sicuramente normale indipendentemente dalla numerosità.
Edit: mi devo correggere. Mi sembra giusto usare la t di student, in quanto la varianza della popolazione è incognita: ne abbiamo solo una stima da campione.[/quote]
ma sai che è molto strano?
ho piu' o meno lo stesso tema d'esame ma con soluzione differente.
In entrambi i casi cmq la h è 0.
Il pdf riportato da te è per tessili ed edili mentre la mia per informatici, gestionalie meccanici
Vedi qua (10 febbraio 2009 informatici):
http://elearning2.unibg.it/ilias4/ilias ... ef_id=5959
praticamente riporta due soluzioni differenti, che devo pensare a questo punto?
Purtroppo non posso visualizzare il file che hai linkato, non ho i permessi di accesso.
Sono d'accordo che è strano se riporta soluzioni diverse per lo stesso esercizio.
In tal caso una delle due contiene un errore (o anche entrambe
)
Nel file pdf che avevo linkato prima, c'è comunque una cosa che non mi torna.
Non capisco perchè calcola la varianza dividendo per $n$ e non $n-1$, cioè la calcola come se fosse la varianza della popolazione e non una stima campionaria della varianza della popolazione.
A me sembra corretto calcolare la varianza campionaria e poi usare la t di student.
Sono d'accordo che è strano se riporta soluzioni diverse per lo stesso esercizio.
In tal caso una delle due contiene un errore (o anche entrambe
)Nel file pdf che avevo linkato prima, c'è comunque una cosa che non mi torna.
Non capisco perchè calcola la varianza dividendo per $n$ e non $n-1$, cioè la calcola come se fosse la varianza della popolazione e non una stima campionaria della varianza della popolazione.
A me sembra corretto calcolare la varianza campionaria e poi usare la t di student.
Inanzitutto ti ringrazio e riporto i file in questione nel quale quello che non potevi vedere
https://rapidshare.com/files/3857668147/Statistica.rar
Inoltre allego anche il file dei miei calcoli
Detto questo non so piu' che pensare.
L'unica cosa che posso dire è che inr realtà, sebbe i due temi d'esame presentino lo stesso esercizio ho notato che le domande sono poste in modo differentema detto questo non so proprio come uscirne.
Nessuno sa come aiutarmi?
https://rapidshare.com/files/3857668147/Statistica.rar
Inoltre allego anche il file dei miei calcoli
Detto questo non so piu' che pensare.
L'unica cosa che posso dire è che inr realtà, sebbe i due temi d'esame presentino lo stesso esercizio ho notato che le domande sono poste in modo differentema detto questo non so proprio come uscirne.
Nessuno sa come aiutarmi?
Secondo me il calcolo giusto è quello che hai fatto con la t di Student, anche se vedo un errore: hai dimenticato di dividere la deviazione standard per $sqrt(5)$.
Quindi: $\mu_A=64\+-3.747*sqrt(16.5)/sqrt(5)=[57.193,70.807]$
Un'altra incongruenza che salta all'occhio nel pdf per gestionali e informatici è questa:
alla risposta (c) afferma che l'ampiezza dell'intervallo è $12.176$, quando invece se fai la differenza tra i valori del punto (b) ottieni $73.104-54.896=18.208$
Quindi: $\mu_A=64\+-3.747*sqrt(16.5)/sqrt(5)=[57.193,70.807]$
Un'altra incongruenza che salta all'occhio nel pdf per gestionali e informatici è questa:
alla risposta (c) afferma che l'ampiezza dell'intervallo è $12.176$, quando invece se fai la differenza tra i valori del punto (b) ottieni $73.104-54.896=18.208$
grazie ancora
si avevo notato anche io questa cosa, boh non so che dire
Intanto ho mandato una mail al profe in questione per chiedere chiarimenti, vediamo un po' come va a finire....
si avevo notato anche io questa cosa, boh non so che dire
Intanto ho mandato una mail al profe in questione per chiedere chiarimenti, vediamo un po' come va a finire....
Prego, ciao e in bocca al lupo per l'esame. 
buongiorno a proposito degli IC, ho difficoltà a calcolare un IC simmetrico per il coeff. di variazione $ sigma /mu $ !
Non so quale quantità pivotale usare
Grazie.
Non so quale quantità pivotale usare
Grazie.
"Frasandro":
buongiorno a proposito degli IC, ho difficoltà a calcolare un IC simmetrico per il coeff. di variazione $ sigma /mu $ !
Non so quale quantità pivotale usare
Grazie.
in attesa di avere qualche dritta in merito a questo esercizio
.... ho un altro dubbio sempre a riguardo gli IC: non ho capito bene la differenza tra IC esatto o asintotico. Negli esercizi a volte mi ritrovo "costruire un IC asintotico per...".... molto probabilmente questa differenza è dovuta dall'SE (radice della varianza) che è al denominatore della quantità pivotale...ma non riesco a inquadrare bene la situazione
Grazie e buona domenica
dunque per la quantità pivotale da usare per $sigma/mu$ dipende da tanti fattori che non hai specificato.
distribuzione?
ampiezza del campione?
parametri della distribuzione tutti ignoti oppure no....
ecc ecc...quindi metti tutta la traccia per bene che vediamo cosa fare...
Per quanto riguarda l'intervallo di confidenza esatto o asintotico:
l'intevallo è esatto se si usa la distrbuzione esatta, asintotico se si usa una distribuzione asintotica, tutto qui.
ad esempio se devi stimare il parametro $theta$ di una esponenziale puoi calcolare:
1) l'intervallo esatto (per piccoli campioni) utilizzando opportunamente la $chi^2$
2) l'intervallo asintotico sapendo che lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$ si distribuisce normalmente con media $theta$ e varianza pari al limite inferiore di Cramer-Rao
(ma ci sono già diversi esempi che hai guardato sull'argomento...)
distribuzione?
ampiezza del campione?
parametri della distribuzione tutti ignoti oppure no....
ecc ecc...quindi metti tutta la traccia per bene che vediamo cosa fare...
Per quanto riguarda l'intervallo di confidenza esatto o asintotico:
l'intevallo è esatto se si usa la distrbuzione esatta, asintotico se si usa una distribuzione asintotica, tutto qui.
ad esempio se devi stimare il parametro $theta$ di una esponenziale puoi calcolare:
1) l'intervallo esatto (per piccoli campioni) utilizzando opportunamente la $chi^2$
2) l'intervallo asintotico sapendo che lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$ si distribuisce normalmente con media $theta$ e varianza pari al limite inferiore di Cramer-Rao
(ma ci sono già diversi esempi che hai guardato sull'argomento...)
"tommik":
dunque per la quantità pivotale da usare per $sigma/mu$ dipende da tanti fattori che non hai specificato.
distribuzione?
ampiezza del campione?
parametri della distribuzione tutti ignoti oppure no....
ecc ecc...quindi metti tutta la traccia per bene che vediamo cosa fare...
Un campione casuale estratt0 da una v.c avente distribuzione di Poisson...
-ricavare lo stimatore di MV per $lambda$
-ricavare un IC simmetrico per il CV
non ho altro a disposizione
"Frasandro":
non ho altro a disposizione
Dato che nel testo non si specifica alcunché, ci calcoliamo l'intervallo asintotico....
Se la distribuzione è una Poisson (prima non lo avevi detto), il CV = $1/sqrt(lambda)$
prendi la solita quantità pivotale
$(bar(x)-lambda)/sqrt(lambda/n)$
stimi la deviazione std della media campionaria con $sqrt(bar(x)/n)$ ed ottieni subito
$bar(x)-zsqrt(bar(x)/n)<=lambda<=bar(x)+zsqrt(bar(x)/n)$
e qindi anche
$1/sqrt(bar(x)+zsqrt(bar(x)/n))<=1/sqrt(lambda)<=1/sqrt(bar(x)-zsqrt(bar(x)/n))$
****************
Questo è un metodo molto immediato ma fornisce un intervallo non proprio preciso....
Altrimenti le cose si complicano un po'...
Occorre infatti risolvere in $lambda$ le seguenti disequazioni:
$-z<(bar(x)-lambda)/sqrt(lambda/n)
che si possono anche esprimere come
$lambda^2-lambda(2bar(x)+z^2/n)+bar(x)^2<0$
da cui subito si ottiene l'intervallo di confidenza per $lambda$ come soluzione della precedente disequazione di secondo grado:
$[bar(x)+z^2/(2n)-sqrt((z^2/(2n))^2+bar(x) z^2/n);bar(x)+z^2/(2n)+sqrt((z^2/(2n))^2+bar(x) z^2/n)]$
e poi si procede come nel caso precedente.
Ovviamente con $z$ ho indicato i quantili della distribuzione Gaussiana Standard al livello di confidenza desiderato.
Ora, dato che entrambi sono intervalli asintotici, e quindi approssimati, approssimazione per approssimazione io mi accontenterei della prima soluzione, rapida ed indolore.
ciao
ci lavoro un pò ed eventualmente "ritorno", grazie 
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