Intervalli di fiducia

[Khurt]

Buongiorno.

Avrei dei dubbi riguardanti il calcolo dell'intervallo di fiducia per la media e per la varianza.

Innanzi tutto, non mi è ben chiaro come calcolare la stima della varianza $s^2$.

Conosco la formula che recita:

$1/(n-1) sum_(i=1) ^n (X_(i) - bar(X)_n)^2$

ma che come lo posso calcolare se $n$ è grande?
Non c'è un'altra formula per calcolare la varianza empirica?



Analogamente, ho dei problemi con l'intervallo di fiducia per $sigma^2$
Il mio (veramente pessimo) libro, recita la formula:

$((n-1)S^2)/X_(a/2)^2
ma lascia sotto inteso il significato di $X_(a/2)^2$, mandando lo studente a "consultare la tavola dei valori di X^2".
Quindi mi chiedo: quale tabella devo consultare per trovare tali valori?



Per finire, mi trovo in difficoltà con un esercizio:

In seguito ad un controllo medico in una scuola materna durante un’epidemia di
scarlattina, 8 bambini su 70 risultano aver contratto l’infezione. Detta $p$ la probabilità che
un bambino della stessa scuola sia ammalato, determinare un intervallo (simmetrico) di
fiducia di livello 0.9 per $p$

Non ho la più pallida idea di che formula debba usare.

Grazie in anticipo per l'aiuto

[Khurt]

ahh, grazie. Ora ha tutto più un senso.

E per quanto riguarda l'esercizio?
Mi potresti dare una dritta su come affrontarlo?

[Khurt]

piccolo bump

[hamming_burst]

"Khurt":In seguito ad un controllo medico in una scuola materna durante un’epidemia di
scarlattina, 8 bambini su 70 risultano aver contratto l’infezione. Detta $p$ la probabilità che
un bambino della stessa scuola sia ammalato, determinare un intervallo (simmetrico) di
fiducia di livello 0.9 per $p$

approssimazione normale:
- la richiesta è una stima intervallare di una proporzione di una popolazione bernoulliana (scarlattina, non scarlattina).
- la numerosità del campione è $n>=30$
- le condizioni $np > 5$ e $n(1-p)>5$ sono valide con $p -> \bar{x} = 8/70$, il vero valore $p$ dobbiamo trovarlo.

Per risolverlo ci vuole un po' di teoria sotto, che ti invito a rivedere ovviamente sul libro, io ti do solo qualche hint.

Il teorema del limite centrale fa valere \[\bar{X} \sim \mathcal{N}(p,\frac{p(1-p)}n)\]

quindi \[P \Big \{ \frac{|\bar{X} - p|}{\sqrt{\frac{(p(1-p)}n}} < \phi_{\frac{1+\alpha}2} \Big \} \simeq \alpha\]

ma non conoscendo $p$ dobbiamo fare un'ulteriori approssimazioni. Se $(p(1-p))/n$ è la varianza, utilizziamo il suo stimatore ${\bar{X}(1-\bar{X})}/n$. Quindi con qualche gioco algebrico troveremo l'invervallo $\alpha$ di $p$ a noi interessatto stimandolo con:

\[\Big ( \bar{X} - \phi_{\frac{1+\alpha}2}\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}n},\bar{X} + \phi_{\frac{1+\alpha}2}\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}n}\Big)\]

salvo errori, a te tutto il resto, per domande e dubbi basta postare.

[Khurt]

Grazie innanzi tutto per la risposta.

Io avevo trovato però, cercando un po' in giro, ho trovato un metodo di risoluzione del genere:



$s_{n}^2= n/(n-1)(1/nsum_{i=1}^nX_i-bar(X_n)^2)$

Per cui, essendo:

$bar(X)_70=8/70=0.1142$

$S_70^2=70/69(1/70sum_{i=1}^70X_i-(0.1142)^2)$

ora, siccome $X_i$ assume, al variare di $i$, 8 volte il valore 1 e 62 volte il valore 0, mi torna:

$S_70^2=70/69(0.1142-(0.1142)^2)=0.1026$

A questo punto, si applica semplicemente Student e viene:

$(0.1142-sqrt(0.1026/70) t_0.95(69); 0.1142+sqrt(0.1026/70) t_0.95(69)$
$(0.07591; 0.1524)$

Che è un risultato piuttosto diverso da quello trovato con la formula che tu proponi.
Ho sbagliato i calcoli, o sono io che mi son perso qualcosa?