Intervalli di confidenza
Buonasera,
Ho bisogno di una mano con questo esercizio:
Sia $ X ~ Poisson(lambda) $ calcolare un intervallo di confidenza unilaterale (destro e sinistro) e uno bilaterale al 95% per X sapendo che in un primo caso $lambda =5$ e in un secondo caso $lambda =130$.
Allora vi espongo la mia idea: nel primo caso essendo $lambda$ un valore piccolo posso utilizzare la distribuzione binomiale da cui deriva quella di Poisson sapendo che $lambda=np$ (posso ricavare quindi n, e calcolare la probabilità che X sia compresa tra -0.025 e 0.025 nel caso bilaterale ad esempio)...Altrimenti l'altra cosa che mi era venuta in mente era imporre, nel caso unilaterale ad esempio, la funzione cumulativa di Poisson $= 0.05$ in modo da ricavare la X ma sinceramente non saprei come risolvere poi la sommatoria in quanto è una somma di infiniti termini. Per il caso in cui $lambda=130$ invece approssimo la distribuzione con una distribuzione $N (lambda, lambda)$ e quindi posso sfruttare le stesse formule del test Z in cui però la mia incognita adesso è la X che mi verrà compresa in un determinato intervallo.
Potreste dirmi se ha senso come ragionamento e se no, dove sto sbagliando? Grazie mille in anticipo
Ho bisogno di una mano con questo esercizio:
Sia $ X ~ Poisson(lambda) $ calcolare un intervallo di confidenza unilaterale (destro e sinistro) e uno bilaterale al 95% per X sapendo che in un primo caso $lambda =5$ e in un secondo caso $lambda =130$.
Allora vi espongo la mia idea: nel primo caso essendo $lambda$ un valore piccolo posso utilizzare la distribuzione binomiale da cui deriva quella di Poisson sapendo che $lambda=np$ (posso ricavare quindi n, e calcolare la probabilità che X sia compresa tra -0.025 e 0.025 nel caso bilaterale ad esempio)...Altrimenti l'altra cosa che mi era venuta in mente era imporre, nel caso unilaterale ad esempio, la funzione cumulativa di Poisson $= 0.05$ in modo da ricavare la X ma sinceramente non saprei come risolvere poi la sommatoria in quanto è una somma di infiniti termini. Per il caso in cui $lambda=130$ invece approssimo la distribuzione con una distribuzione $N (lambda, lambda)$ e quindi posso sfruttare le stesse formule del test Z in cui però la mia incognita adesso è la X che mi verrà compresa in un determinato intervallo.
Potreste dirmi se ha senso come ragionamento e se no, dove sto sbagliando? Grazie mille in anticipo
Risposte
Cosa vuol dire intervallo di confidenza per $X $??
L'intervallo di confidenza è una stima per intervallo di $lambda $ sulla base di un campione casuale $X_1,.., X_n $.
Qui $lambda $ è noto, non vedo cosa ci sia da stimare.... controlla il testo
Se invece è proprio così, ovvero hai due distribuzioni completamente specificate $Po (5) $ e $Po (130) $ e vuoi sapere il range entro cui cadono i valori della variabile al 95% allora sinceramente non vedo che problemi tu possa trovare nei calcoli avendo tutta la distribuzione nota.
Il primo intervallo con la distribuzione in oggetto e il secondo, opportunamente approssimato, con la normale
Somma infinita??? Con una $Po (5) $ hai che $P (x <=10)=0,986$ (Ho fatto i conti col cellulare eh....non con un megacalcolatore...)
Tanto per fare un esempio, nel caso bilaterale, per trovare il primo estremo dell'intervallo sommi fino ad avere il 2.5%. Per trovare l'estremo superiore sommi fino ad avere il 97.5% della distribuzione. Ecc ecc . Ovviamente non avrai mai esattamente la % cercata perché la distribuzione è discreta e quindi sceglierai i valori della x che approssimano meglio (per eccesso) il 95% della distribuzione
Non è nemmeno inferenza, sono banali calcoli di statistica descrittiva
L'intervallo di confidenza è una stima per intervallo di $lambda $ sulla base di un campione casuale $X_1,.., X_n $.
Qui $lambda $ è noto, non vedo cosa ci sia da stimare.... controlla il testo
Se invece è proprio così, ovvero hai due distribuzioni completamente specificate $Po (5) $ e $Po (130) $ e vuoi sapere il range entro cui cadono i valori della variabile al 95% allora sinceramente non vedo che problemi tu possa trovare nei calcoli avendo tutta la distribuzione nota.
Il primo intervallo con la distribuzione in oggetto e il secondo, opportunamente approssimato, con la normale
Somma infinita??? Con una $Po (5) $ hai che $P (x <=10)=0,986$ (Ho fatto i conti col cellulare eh....non con un megacalcolatore...)
Tanto per fare un esempio, nel caso bilaterale, per trovare il primo estremo dell'intervallo sommi fino ad avere il 2.5%. Per trovare l'estremo superiore sommi fino ad avere il 97.5% della distribuzione. Ecc ecc . Ovviamente non avrai mai esattamente la % cercata perché la distribuzione è discreta e quindi sceglierai i valori della x che approssimano meglio (per eccesso) il 95% della distribuzione
Non è nemmeno inferenza, sono banali calcoli di statistica descrittiva
Si, il testo è proprio questo non si tratta di un problema di stima è un problema di statistica descrittiva. So che può sembrare una domanda banale ma ho spesso difficoltà nel comprendere alcuni di questi esercizi.
Quindi per tornare alla tua risposta, nel caso bilaterale uso la distribuzione di Poisson con $lambda=5$ e facendo i calcoli ho ottenuto una probabilità pari a 0.254 per x=3 quindi questo è l'estremo inferiore del mio intervallo è corretto?
Quindi per tornare alla tua risposta, nel caso bilaterale uso la distribuzione di Poisson con $lambda=5$ e facendo i calcoli ho ottenuto una probabilità pari a 0.254 per x=3 quindi questo è l'estremo inferiore del mio intervallo è corretto?
"meemowsh":
facendo i calcoli ho ottenuto una probabilità pari a 0.254 per x=3 quindi questo è l'estremo inferiore del mio intervallo è corretto?
???? non mi pare proprio
La tua distribuzione $Po(5)$ è la seguente (ho fatto i calcoli con excel fino a $X=14$ ma per risolvere l'esercizio basta fermarsi a $X=10$; ieri sera li ho fatti con la calcolatrice del cellulare, quindi nulla di proibitivo)
quindi come puoi vedere l'intervallo bilaterale ottimale al 95% è
$X=5+-4$ ovvero $1<=X<=9$ a cui corrisponde una probabilità del 96.1%
Gli intevalli unilaterali sono
$x<=9 rarr p=96.8%$
$x>=2 rarr p=95.9%$
Quando $lambda$ supera i 10 - 15 la distribuzione è gaussiana, quindi ancora più semplice.
questo è il grafico della poisson con $lambda=15$. Più lambda è alto, più la distribuzione è meglio approssimabile con una Gaussiana
Avevo fatto un errore banale non mettendo una parentesi nella calcolatrice..sto cercando di colmare tutte le lacune una volta per tutte comunque grazie mille ora ho davvero capito,
quindi nel caso in cui invece approssimo con la normale ho che $X ~ N (lambda, lambda)$
posso standardizzare e ottengo $ Z = (X -lambda) / sqrt(lambda) $
Poi dalla tavola della normale ricavo che per il caso unilaterale ho $-1.96 < Z < 1.96$
e risolvo la disuguaglianza in X.
Per il caso unilaterale destro invece trovo $Z >= 1.645$ e sinistro $Z<=-1.645$ da cui posso sostituire i valori e trovare l'intervallo in X. Corretto?
quindi nel caso in cui invece approssimo con la normale ho che $X ~ N (lambda, lambda)$
posso standardizzare e ottengo $ Z = (X -lambda) / sqrt(lambda) $
Poi dalla tavola della normale ricavo che per il caso unilaterale ho $-1.96 < Z < 1.96$
e risolvo la disuguaglianza in X.
Per il caso unilaterale destro invece trovo $Z >= 1.645$ e sinistro $Z<=-1.645$ da cui posso sostituire i valori e trovare l'intervallo in X. Corretto?
sì corretto.
Grazie mille! 
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