***Interessante*** Calcolo e riconoscimento legge di variabili distribuite come Normale

[Piervito.94]

Salve a tutti, non riesco a risolvere un problema di calcolo della legge di una variabile definita così $W_{i}=X_{i}^{2}+Y_{i}^{2}$ dove $X_{i}$ e $Y_{i}$ sono variabili di due campioni casuali indipendenti presi da una popolazione normale con media nulla e varianza $\theta$.
Io arrivo a definire che la somma sia una chi quadro ma non so come calcolare la legge a partire dalle due variabili e non so come gestire il fatto che devo standardizzare le variabili prima di dire che sono distribuite come una chi quadro. Inoltre successivamente mi viene chiesto di calcolare la legge della radice $W_{i}$

[Lo_zio_Tom]

Per interagire qui serve un po' più di impegno nello scrivere una bozza di soluzione. Per questa volta, dato che, pur non essendo un neoiscritto, sei al tuo primo messaggio, ti mostro come procedere....

il secondo punto è il più carino:

Siano X,Y variabili aleatorie iid $N(0;sigma^2)$

($theta $ è un po' scomodo come simbolo...poi capirai perché)

La densità congiunta è quindi

$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sigma^2)e^(-1/(2sigma^2)(x^2+y^2)$

Passiamo in polari ottenendo subito

$f_(P Theta)(rho, theta)=1/(2pi)*rho/sigma^2 e^(-1/(2sigma^2)rho^2$

Da cui si vede subito che la densità risultante è la congiunta di due variabili indipendenti

1) $Theta $ con $f_Theta(theta)=1/(2pi)$ ovvero uniforme in $(0;2pi)$

2) $P=sqrt(X^2+Y^2)$ con

$f_P(rho)=rho/sigma^2 e^(-1/(2sigma^2)rho^2)$ che è la densità di una Rayleigh ed è la distribuzione cercata.

Il primo è davvero facile: viene una distribuzione esponenziale.

$W=sigma^2[(X/sigma)^2+(Y/sigma)^2]=sigma^2Z$

Dove $Z~Gamma(1;1/2)$

Quindi $W~Gamma(1;1/(2sigma^2))=Exp(1/(2sigma^2))$

Ovviamente potresti derivare il risultato del secondo punto partendo dal primo e trasformando la variabile con la solita formula di trasformazione monotona, ma come ti ho indicato io è molto più elegante...



Ciao