Integrale di radice di dx
Salve gente.
Ho un'equazione differenziale del tipo $ dy= sqrt(dx) $ . Per calcolare la $y$ devo integrare, giusto? Ma a quanto è uguale l'integrale $ int sqrt(dx) $ ?
Tnx.
Ho un'equazione differenziale del tipo $ dy= sqrt(dx) $ . Per calcolare la $y$ devo integrare, giusto? Ma a quanto è uguale l'integrale $ int sqrt(dx) $ ?
Tnx.
Risposte
Non credo che il problema abbia senso, messo così com'è.
Per favore, potresti specificare un po' i dettagli?
Da dove viene fuori una "equazione" del genere?
Per favore, potresti specificare un po' i dettagli?
Da dove viene fuori una "equazione" del genere?
L'equazione descrive un processo stocastico di Wiener. Più precisamente, indicando con X(t) il processo, essa è:
$ dX=epsilonsqrt(dt) $
dove $ epsilon $ è una v.c. normale standardizzata. Dato che su tutti i testi che ho letto tale processo è sempre espresso in forma differenziale (a differenza degli altri processi che sono espressi anche in forma integrale), volevo appunto renderlo nella forma integrale...
Tra l'altro, dato che $ X(t)$ si distribuisce come una $N(0,t) $, mi verrebe da dire che $ X(t)=epsilonsqrt(t) $ , ma non penso sia corretto...
$ dX=epsilonsqrt(dt) $
dove $ epsilon $ è una v.c. normale standardizzata. Dato che su tutti i testi che ho letto tale processo è sempre espresso in forma differenziale (a differenza degli altri processi che sono espressi anche in forma integrale), volevo appunto renderlo nella forma integrale...
Tra l'altro, dato che $ X(t)$ si distribuisce come una $N(0,t) $, mi verrebe da dire che $ X(t)=epsilonsqrt(t) $ , ma non penso sia corretto...
Infatti non è corretto.
Da quanto ho capito, stai solo scrivendo che $X$ è un processo di Wiener.
In ogni caso, gli integrali stocastici non si calcolano come gli integrali di Riemann (o di Lebesgue); devi far riferimento alla definizione dell'integrale di Ito.
Da quanto ho capito, stai solo scrivendo che $X$ è un processo di Wiener.
In ogni caso, gli integrali stocastici non si calcolano come gli integrali di Riemann (o di Lebesgue); devi far riferimento alla definizione dell'integrale di Ito.
[mod="gugo82"]Sposto in Statistica e probabilità.[/mod]
Cavolo hai ragione! Infatti un processo di Wiener è una sequenza di punti spigolosi, non è derivabile in nessun punto. Btw, conosco il lemma di ito, ma non ho mai studiatol'integrale 
*edit: no, forse ho detto una stupidata, perchè io devo integrare, non derivare...
*edit: no, forse ho detto una stupidata, perchè io devo integrare, non derivare...
Considera un moto browniano $B_t$ (su un opportuno spazio diprobabilità) ed una funzione $f(x,t)$ (che deve soddisfare alcune condizioni di regolarità)
allora $Y_t=f(B_t,t)$
soddisfa questo:
$Y_t-Y_0\ =\ int_0^t (delf)/(delx)\ dB_s \ +\ int_0^t (delf)/(delt)\ ds \ +\ 1/2 int_0^t (del^2f)/(delx^2)\ ds$.
Questa è la versione base del lemma di ito.
Come ti diceva Rigel il primo integrale è un integrale stocastico che necessita di una sua specificazione apposita per essere definito.
Questa la trovi in tutti i libri di processi stocastici e la sua costruzione è simile all'integrale di Lebesgue.
allora $Y_t=f(B_t,t)$
soddisfa questo:
$Y_t-Y_0\ =\ int_0^t (delf)/(delx)\ dB_s \ +\ int_0^t (delf)/(delt)\ ds \ +\ 1/2 int_0^t (del^2f)/(delx^2)\ ds$.
Questa è la versione base del lemma di ito.
Come ti diceva Rigel il primo integrale è un integrale stocastico che necessita di una sua specificazione apposita per essere definito.
Questa la trovi in tutti i libri di processi stocastici e la sua costruzione è simile all'integrale di Lebesgue.
Il fatto è che io ho solo il moto browniano, non una funzione che dipende da esso. Da qui la mia incapacità di applicarci il lemma.
"Ciobix":
Il fatto è che io ho solo il moto browniano, non una funzione che dipende da esso. Da qui la mia incapacità di applicarci il lemma.
Cioè cosa hai? hai scritto "non una funzione che dipende da esso". vuoi dire che hai una funzione che dipende da esso?
Tu hai considerato una funzione Y, che dipende dal moto B. Io inveve voglio calcolare B(t) - B(0), e so che $ dB=epsilonsqrt(dt) $, dove $epsilon$ è una normale standardizzata.
Prova a scrivere $f(x, t)=x$ e a sviluppare $f(B_t, t)- f(0, 0)$ (uso le notazioni di DajeForte) con la formula di Ito.
Come dice dissonance.
Vorrei precisare una cosa: $dB_s=epsilon sqrt(ds)$, è una maniera compatta per descrivere gli incrementi del moto browniano;
ma non è una relazione che puoi utilizzare per sostituire qualcosa da qualche parte (magari nell'integrale in dB).
Questo perchè il moto browniano ha un comportamento anomalo, nel senso che la sua variazione prima è infinita (questo èuno dei motivi principali per cui ci vuole una definizione di integrale apposita) e la variazione seconda è pari al tempo.
Il lemma di Ito non fa che tramutare in forma (regola) differenziale questo concetto fondamentale.
Vorrei precisare una cosa: $dB_s=epsilon sqrt(ds)$, è una maniera compatta per descrivere gli incrementi del moto browniano;
ma non è una relazione che puoi utilizzare per sostituire qualcosa da qualche parte (magari nell'integrale in dB).
Questo perchè il moto browniano ha un comportamento anomalo, nel senso che la sua variazione prima è infinita (questo èuno dei motivi principali per cui ci vuole una definizione di integrale apposita) e la variazione seconda è pari al tempo.
Il lemma di Ito non fa che tramutare in forma (regola) differenziale questo concetto fondamentale.
@ dissonance: ho provato, ma viene un'identità.
@DajeForte: ora capisco il mio errore.
Evidentemente mi sono spinto in qualcosa che va oltre le mie competenze, comunque grazie mille per le risposte.
@DajeForte: ora capisco il mio errore.
Evidentemente mi sono spinto in qualcosa che va oltre le mie competenze, comunque grazie mille per le risposte.
"Ciobix":
@ dissonance: ho provato, ma viene un'identità.
M quale sarebbe il tuo problema, scritto magari un briciolo più dettagliato?
Così se ti si può dare una mano te la si da.
Innanzitutto inizio dicendoti che se vuoi fare queste cose almeno una conoscienza base dell'integrale stocastico devi averla.
Nello studio dei processi stocastci ho sempre notato che il processo di Wiener viene espresso nella sua forma differenziale. Avevo provato così a esplicitarlo nella sua forma integrale, cioè volevo risolvere l'integrale. Accortomi di non saperlo fare, mi sono rivolto al forum. Dai vostri post mi sono poi reso conto che:
1) mi manca uno strumento tecnico, l'integrale stocastico. Fin'ora ho solo studiato il lemma di ito nella sua forma differenziale, nell'ambito del modello di Black & Scholes per il pricing delle opzioni (studio finanza)
2) non avevo considerato un aspetto concenttuale importante: ogni possibile traiettoria di un processo di Wiener ha, in ogni punto, derivata prima infinita.
Ti ringrazio per la tua disponibilità, sei gentilissimo, ma non ti preoccupare; anche perchè la questione che ho posto non è legata ad un esercizio da risolvere o ad un ergomento d'esame. Era semplicemente un dubbio che mi era sorto (per questo era così poco dettagliato)...
Comunque grazie ancora per le risposte.
1) mi manca uno strumento tecnico, l'integrale stocastico. Fin'ora ho solo studiato il lemma di ito nella sua forma differenziale, nell'ambito del modello di Black & Scholes per il pricing delle opzioni (studio finanza)
2) non avevo considerato un aspetto concenttuale importante: ogni possibile traiettoria di un processo di Wiener ha, in ogni punto, derivata prima infinita.
Ti ringrazio per la tua disponibilità, sei gentilissimo, ma non ti preoccupare; anche perchè la questione che ho posto non è legata ad un esercizio da risolvere o ad un ergomento d'esame. Era semplicemente un dubbio che mi era sorto (per questo era così poco dettagliato)...
Comunque grazie ancora per le risposte.
Guarda, se ti può interessare trovi materiale non troppo tecnico su questo argomento nel libretto di Evans:
https://www.matematicamente.it/forum/topic-t53843.html
https://www.matematicamente.it/forum/topic-t53843.html
Grazie.
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