Integrale densità Gaussiana
Buonasera a tutti!
Vi scrivo perché non mi sono chiare alcune cose circa l'integrale di una densità di probabilità Gaussiana.
Indichiamo con $g_(\sigma^2, barx)(X)$ la funzione di densità di probabilità Gaussiana:
dove $\sigma^2$ è la varianza e $\barx$ è il valor medio della variabile aleatoria $x$.
Siano:
Sulla mia fonte scritta, viene detto che con semplici cambi di variabili si ottengono i seguenti risultati:
Tralasciando il fatto che si potrebbero scrivere in un altro modo sfruttando le relazioni che ci sono tra la funzione erf e la funzione Q, non capisco quali potrebbero essere i cambi di variabili per cui si ottengono questi risultati.
Grazie in anticipo
Vi scrivo perché non mi sono chiare alcune cose circa l'integrale di una densità di probabilità Gaussiana.
Indichiamo con $g_(\sigma^2, barx)(X)$ la funzione di densità di probabilità Gaussiana:
$g_(\sigma^2, barx)(X)=f_x(X)=1/sqrt(2\pi\sigma^2)exp{-(X-\barx)^2/[2\sigma^2]}$,
dove $\sigma^2$ è la varianza e $\barx$ è il valor medio della variabile aleatoria $x$.
Siano:
$erf(X)=1/sqrt(2\pi)\int_{0}^Xe^(-\xi^2/2)d\xi$ e $Q(X)=1/sqrt(2\pi)\int_{X}^(+\infty)e^(-\xi^2/2)d\xi$.
Sulla mia fonte scritta, viene detto che con semplici cambi di variabili si ottengono i seguenti risultati:
$\int_{\alpha}^(+\infty)g_(\sigma^2, barx)(X)dX=Q((\alpha-\barx)/\sigma)$
$\int_{-\infty}^\alphag_(\sigma^2, barx)(X)dX=1-Q((\alpha-\barx)/\sigma)$
$\int_{\alpha}^\betag_(\sigma^2, barx)(X)dX=Q((\alpha-\barx)/\sigma)-Q((\beta-\barx)/\sigma)$.
$\int_{-\infty}^\alphag_(\sigma^2, barx)(X)dX=1-Q((\alpha-\barx)/\sigma)$
$\int_{\alpha}^\betag_(\sigma^2, barx)(X)dX=Q((\alpha-\barx)/\sigma)-Q((\beta-\barx)/\sigma)$.
Tralasciando il fatto che si potrebbero scrivere in un altro modo sfruttando le relazioni che ci sono tra la funzione erf e la funzione Q, non capisco quali potrebbero essere i cambi di variabili per cui si ottengono questi risultati.
Grazie in anticipo
Risposte
Forse $\xi={X-\bar x}/{\sigma}$?
Sì perfetto, così mi torna. Grazie mille 
piccola nota a margine:
la notazione $\bar{x}$ io la leggo come media empirica, media campionaria, ..., stimatore della media, ...., non come significato di valore atteso di una distribuzione che si annota con la classica $\mu$.
posso chiederti anche da dovere deriva l'utilizzo di simbologia come $\xi$?
la notazione $\bar{x}$ io la leggo come media empirica, media campionaria, ..., stimatore della media, ...., non come significato di valore atteso di una distribuzione che si annota con la classica $\mu$.
posso chiederti anche da dovere deriva l'utilizzo di simbologia come $\xi$?
Per $\barx$ intendo il valor medio della variabile aleatoria $x$, calcolato tramite l'operatore Expectation, cioè:
$\xi$ non saprei, la fonte sono le mie dispense, così come la notazione $\barx$
$\barx=E{x}=\int_{-\infty}^(+\infty)Xf_x(X)dX$.
$\xi$ non saprei, la fonte sono le mie dispense, così come la notazione $\barx$
"Demostene92":
Per $\barx$ intendo il valor medio della variabile aleatoria $x$, calcolato tramite l'operatore Expectation, cioè:
$\barx=E{x}=\int_{-\infty}^(+\infty)Xf_x(X)dX$.
$\xi$ non saprei, la fonte sono le mie dispense, così come la notazione $\barx$
ok grazie.
Sul valore attesto, mi sembra solo una notazione che può creare confusione, forse sono dispense per un corso avanzato ed il contesto è ben delineato.
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