Insieme di continuità di una funzione di ripartizione

[lewis1]

Salve a tutti. In una dimostrazione mi sono imbattuta in questa relazione, non dimostrata.
Probabilmente è banale (motivo per cui non è approfondita) però purtroppo non lo è per me...potreste aiutarmi?

la relazione "incriminata" è la seguente:

$x in cont(F_X) <=> P(X=x)=0$

dove:
- $X$ è una variabile aleatoria a valori reali
- $F_X$ è la funzione di ripartizione di X, cioè $F_X (x) = F_(muX) (x) = P(omega in Omega : X(omega) <= x)$
- $cont(F_X)$ insieme dei punti di continuità di $F_X$
(precisazioni probabilmente banali, ma a me serve sempre scrivermi tutte le definizioni per avere un quadro della situazione )

Non ho capito il perchè dell'implicazione, in nessuno dei versi. Help?

Grazie in anticipo e buon pomeriggio.

[frapippo1]

Ciao. Nota che:
$P(X=x)=P(X<=x)-P(X<=x^{-})=F_X(x)-F_X(x^{-})$.

Da qui segue quanto affermato...Ciao

[lewis1]

Dunque, il fatto che l'ultima quantità sia uguale a 0 è dovuta al fatto che parliamo di probabilità in campo continuo e non discreto, giusto?

Ed è necessario che x sia punto di continuità per la prima uguaglianza...corretto?

Grazie e buona domenica.

[frapippo1]

Non so se ho ben capito..comunque:

i)se x è punto di continuità per $F_X$ allora $F_X(x)=F_X(x^{-})$, da cui $P(X=x)=0$;
ii)se $P(X=x)=0$, cioè $F_X(x)-F_X(x^{-})=0$, allora $F_X(x)=F_X(x^{-})$, da cui x punto di continuità per $F_X$.

Per avere chiara la situazione, pensa al grafico di una distribuzione cumulata discreta e di una continua, per esempio la gaussiana. Nel primo caso hai una funzione costante a tratti, i cui salti sono nei punti di discontinuità (e in quei punti la probabilità che la tua variabile aleatoria sia uguale al punto di discontinuità è positiva); nel secondo, la probabilità che la tua v.a. sia uguale a un qualsiasi punto della retta reale è zero.

[lewis1]

Ok, grazie, tutto chiaro!
Buona serata e grazie ancora!