Insieme degli eventi (Omega) di una Normale
Ciao a tutti!
Una variabile aleatoria $X$ è definita come una funzione da $\Omega$ (set degli eventi) in uno spazio misurabile, ad esempio $\mathbb{R}$.
Ad esempio, se $X$ è il risultato di un dado al quadrato, $\Omega$ è $\{1,2,3,4,5,6\}$ e $X(\omega) \in \{1,4,9,16,25,36\}$,
in altre parole $X(\omega): \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{1,4,9,16,25,36\}$.
La mia domanda è, qual è $\Omega$ se $X$ è una variabile aleatoria normalmente distribuita?
Io credo che dire che sia normalmente distribuita ci dice solo come calcolare le probabilità su $\mathbb{R}$ ma $\Omega$ rimane "astratto".
Una variabile aleatoria $X$ è definita come una funzione da $\Omega$ (set degli eventi) in uno spazio misurabile, ad esempio $\mathbb{R}$.
Ad esempio, se $X$ è il risultato di un dado al quadrato, $\Omega$ è $\{1,2,3,4,5,6\}$ e $X(\omega) \in \{1,4,9,16,25,36\}$,
in altre parole $X(\omega): \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{1,4,9,16,25,36\}$.
La mia domanda è, qual è $\Omega$ se $X$ è una variabile aleatoria normalmente distribuita?
Io credo che dire che sia normalmente distribuita ci dice solo come calcolare le probabilità su $\mathbb{R}$ ma $\Omega$ rimane "astratto".
Risposte
"Sergio":
\(\mathbb{R}\). Ad esempio, se si rileva la statura di un individuo appartenente a una qualche popolazione, "statura" è un numero reale. Se la v.a. "statura" ha distribuzione normale, la probabilità che la statura sia zero o infinita è nulla, ma cresce man mano che ci si avvicina alla statura media.
Si usa qui una variabile aleatoria non per convertire in numero qualcosa che è già un numero, ma per gestire eventi quali "statura compresa tra 1.70 e 1.80", "statura minore di 1.60", che non sono eventi elementari (sono intervalli, non punti, della retta reale).
Non sono convinto. In questo esempio mi pare che $\Omega$ sia l'insieme di tutti gli individui e che $X(\omega)$ sia l'aleatoria statura dell'individuo $\omega$. Come nel caso che hai citato "Testa o Croce": $\Omega = \{ T, C \}$ e $X(\omega)$ è il valore aleatorio osservato ($1$ o $0$).
"Sergio":
Se \(\Omega\) è lo spazio dei risultati dell'esperimento "lancio di un dado al quadrato", allora \(\Omega=\{1,4,9,16,25,36\}\).
In analogia all'esempio "lancio di due dati", per me $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ e
\[ X=\begin{cases} 1 & \text{se } \omega=1 \\ 4 & \text{se } \omega=2 \\ \dots \\
36 & \text{ se } \omega=6 \end{cases}\]
Grazie per le risposte, ora capisco dove stavo sbagliando.
Supponiamo che l'altezza delle persone sia normalmente distribuita (assunzione ovviamente falsa perché in realtà non si possono ottenere valori negativi). Sia $X(\omega_1,\omega_2)$ la varaibile aleatoria "somma di una coppia di altezze".
In questo caso:
$\Omega=\mathbb{R}^2$,
$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ , $X(\omega_1,\omega_2)=\omega_1+\omega_2$
Per $B\subset \mathbb{R}$, $\mathbb{P_X}(X \in B)= \mathbb{P_X}((\omega_1,\omega_2): X(\omega_1,\omega_2) \in B)$ e sapere la distribuzione delle altezze è ciò che ci permette di calcolare l'integrale al secondo membro dell'uguaglianza:
\[
\int_{\{(\omega_1,\omega_2) :\, X(\omega_1,\omega_2) \in B\}} \mathbb{P_X}(d\omega_1\, d\omega_2) = \int_B f_{\mathbb{X}}(x)\, dx
\]
dove $\mathbb{P_X}$ è la misura su $\Omega$ che è "astratta" ma che noi riusciamo a calcolare usando la misura di Lebesgue (che sappiamo come integrare) e la densità di $X$ (che sappiamo grazie all'assunzione della normalità).
Ora è tutto corretto? Spero di avere capito nel dettaglio.
Grazie mille!
Supponiamo che l'altezza delle persone sia normalmente distribuita (assunzione ovviamente falsa perché in realtà non si possono ottenere valori negativi). Sia $X(\omega_1,\omega_2)$ la varaibile aleatoria "somma di una coppia di altezze".
In questo caso:
$\Omega=\mathbb{R}^2$,
$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ , $X(\omega_1,\omega_2)=\omega_1+\omega_2$
Per $B\subset \mathbb{R}$, $\mathbb{P_X}(X \in B)= \mathbb{P_X}((\omega_1,\omega_2): X(\omega_1,\omega_2) \in B)$ e sapere la distribuzione delle altezze è ciò che ci permette di calcolare l'integrale al secondo membro dell'uguaglianza:
\[
\int_{\{(\omega_1,\omega_2) :\, X(\omega_1,\omega_2) \in B\}} \mathbb{P_X}(d\omega_1\, d\omega_2) = \int_B f_{\mathbb{X}}(x)\, dx
\]
dove $\mathbb{P_X}$ è la misura su $\Omega$ che è "astratta" ma che noi riusciamo a calcolare usando la misura di Lebesgue (che sappiamo come integrare) e la densità di $X$ (che sappiamo grazie all'assunzione della normalità).
Ora è tutto corretto? Spero di avere capito nel dettaglio.
Grazie mille!
A me sembra che il mio esempio "somma di due altezze" sia come quello della "somma di due dadi" che hai fatto in precedenza:
Io estraggo due persone e ottengo due numeri.
Per me $\Omega=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ analogamente a $\Omega=\{1,...,6\}\times\{1,...,6}$ del tuo esempio.
Non capisco la differenza.
"Sergio":
Analogamente, se lanci due dadi ottieni due numeri, \(\Omega=\{(1,1),(1,2),\dots,(2,1),(2,2),\dots,(6,1),(6,2),\dots,(6,6)\}\), e puoi definire la v.a. \(X=\) somma di due dadi:
\[ X=\begin{cases} 2 & \text{se } \omega=(1,1) \\ 3 & \text{se } \omega=(1,2) \text{ oppure } \omega=(2,1) \\ \dots \\
12 & \text{ se } \omega=(6,6) \end{cases}\]
Io estraggo due persone e ottengo due numeri.
Per me $\Omega=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ analogamente a $\Omega=\{1,...,6\}\times\{1,...,6}$ del tuo esempio.
Non capisco la differenza.
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