Info esercizio calcolo combinatorio

[sairaki87]

Ciao a tutti!
Voglio proporvi un esercizio su cui ho perso parecchio tempo... ma senza riuscire a capire quale fosse la vera soluzione...o meglio, il risultato lo so, ma non ho capito come arrivarci...

Allora...ci sono $2$ persone, chiamiamole Alberto e Carlo, e un'urna che contiene $50$ palline bianche e $1$ pallina nera. Queste $2$ persone estraggono senza reimmissione $1$ pallina alla volta in modo alternato. Il gioco finisce quando viene pescata la pallina nera. Ha più probabilità di vincere chi inizia per primo, chi fa per secondo o le probabilità sono le stesse?

Io avevo pensato di usare la geometrica considerando che la probabilità di estrarre la palla nera è $p=1/51$, e $(1-p)=50/51$.
Quindi se inizia Alberto la probabilità di prendere la palla nera alla prima estrazione è $p$;
poi tocca a Carlo --> $(1-p)*p$
poi ad Albero --> $(1-p)*(1-p)*p$
poi a Carlo --> $(1-p)*(1-p)*(1-P)*p$
e così via fino alla fine.

Se inizia Carlo, le probabilità rimangono le stesse.

Ora, per vedere chi ha più probabilità di vincere, si sommano le singole probabilità dei tentativi di Alberto (nel caso in cui inizi lui)

$p + [(1-p)*(1-p)*p] + [(1-p)*(1-p)*(1-p)*(1-p)*p]...$

e le singole probabilità dei tentativi di Carlo (che estrae sempre dopo Alberto)

$(1-p)*p + [(1-p)*(1-p)*(1-p)*p] + [(1-p)*(1-p)*(1-p)*(1-p)*p]...$

Dai calcoli risulterebbe che chi gioca per secondo ha una probabilità di vincita leggermente superiore a chi gioca per primo.

In realtà, la soluzione mi dice che Albero e Carlo hanno la stessa probabilità di vincere...pari a $1/2$. Perché????????

[retrocomputer]

"sairaki87":
Io avevo pensato di usare la geometrica considerando che la probabilità di estrarre la palla nera è $p=1/51$,

Non mi sono ancora concentrato su questo tuo esercizio, ma secondo me la legge geometrica non è adatta per una sequenza di estrazioni come questa, un po' perché è finita, ma soprattutto perché $p$ non mi sembra costante a ogni estrazione.

Forse può servire iniziare a calcolare le probabilità di vittoria nelle prime due estrazioni, usando la probabilità condizionata...

[giannirecanati]

E' vero che hanno la stessa probabilità. Facciamo un esempio:
La probabilità che Alberto la peschi al primo colpo è \(\displaystyle p=\frac{1}{51} \), mentre la probabilità di Carlo è data dal prodotto \(\displaystyle p_1=\frac{50}{51}\cdot\frac{1}{50}=\frac{1}{51} \).

Fatta in maniera formale la probabilità che vinca Alberto è data dal prodotto:
\(\displaystyle p_a=\frac{50\cdot 49 \cdot 48 \cdots}{51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdots}=\frac{1}{51} \).
La probabilità che vinca Carlo è sempre uguale:
\(\displaystyle p_c=\frac{50\cdot 49 \cdot 48 \cdots}{51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdots}=\frac{1}{51} \), quindi poichè la probabilità che vinca Carlo è la stessa con cui vince Alberto, la probabilità che vinca uno dei due è pari ad \(\displaystyle \frac{1}{2} \).

[hamming_burst]

"retrocomputer":
Non mi sono ancora concentrato su questo tuo esercizio, ma secondo me la legge geometrica non è adatta per una sequenza

a me sembra si adotti la proprietà della geometrica di primo successo, ma soprattutto l'assenza di memoria...