Infiniti lanci di moneta

[Davide901]

Ciao a tutti,
Vi chiedo per favore di risolvere questa incongruenza.
Ipotizziamo di voler calcolare qual è la probabilità che su infiniti lanci di moneta il risultato "testa" si presenti con una frequenza del 50%.
Allora ho provato due approcci diversi.
1- Se usiamo la distribuzione binomiale questa ci dice che la probabilità che testa si presenti metà delle volte decresce sempre di più all' aumentare dei lanci fino ad essere nulla per lanci infiniti.
2- se usiamo la legge dei grandi numeri questa ci dice che all' aumentare dei lanci la frequenza con cui compare testa si avvicina sempre più al 50% fino a diventare esattamente 50% per infiniti lanci.
Se i lanci sono molti ma NON infiniti l'incongruenza non c'è, questo lo so. Ma se i lanci sono proprio INFINITI da una parte abbiamo che la probabilità di avere metà testa e metà croce è nulla e dall' altra abbiamo invece la certezza. Come si conciliano i due fatti? Forse non è possibile usare la legge dei grandi numeri per questo processo con infinite monete? So che c'è una distinzione tra legge dei grandi numeri forte e debole. Non so se questo c'entri qualcosa ma non ho capito in cosa consiste la loro differenza.

[ghira1]

"Davide90":
2- se usiamo la legge dei grandi numeri questa ci dice che all' aumentare dei lanci la frequenza con cui compare testa si avvicina sempre più al 50% fino a diventare esattamente 50% per infiniti lanci.

Non è vero. Se lancio una moneta due volte ed esce testa e poi croce, al terzo lancio cosa può succedere se quello che dici è vero?

Comunque.

La tua domanda è abbastanza simile a: "Come mai la differenza fra $n+\sqrt{n}$ e $n$ va all'infinito mentre $\frac{n+\sqrt{n}}{n}$ va a 1?"

[Lo_zio_Tom]

"Davide90":
Forse non è possibile usare la legge dei grandi numeri per questo processo con infinite monete? So che c'è una distinzione tra legge dei grandi numeri forte e debole. Non so se questo c'entri qualcosa ma non ho capito in cosa consiste la loro differenza.

È possibile...anzi è la strada giusta.

Legge debole, la media campionaria converge debolmente ad $1/2$:

$bar(X)_n \stackrel(mathcal(P))rarr 1/2$

Dim (invochiamo la disuguaglianza di Cebicev):

$lim_(n rarr +oo)mathbb (P){|bar(X)_n-1/2|=1-1/(4n epsilon^2)=1$

...e ciò è già sufficiente per rispondere al tuo quesito.

Per la media campionaria vale anche la Legge forte:

$bar(X)_n \stackrel("q.c. ")rarr 1/2$

Ovvero:

$mathbb (P)[omega in Omega: lim_(n rarr +oo) bar(X)_n(omega)=1/2]=1$

oppure equivalentemente

$mathbb(P)[lim s up_n{|bar(X)_n-1/2|>epsilon}]=0$

oppure equivalentemente


$mathbb(P)[{|bar(X)_n-1/2|>epsilon} " i.o."]=0$

La dimostrazione la trovi su qualunque testo di Statistica

"Davide90":se i lanci sono proprio INFINITI da una parte (con la binomiale) abbiamo che la probabilità di avere metà testa e metà croce è nulla e dall' altra abbiamo invece la certezza. Come si conciliano i due fatti?

come ti ha detto @Sergio, usando il TLC. Prova a calcolare la probabilità che il numero dei successi non sia ESATTAMENTE $n/2$ ma che sia un intervallo molto piccolo simmetrico ad $n/2$....

ESEMPIO: lanciamo la moneta (regolare) $100.000$ volte e calcoliamo la probabilità

$mathbb{P}[49.500



...ma è meglio ragionare con le LGN


Ulteriore metodo:

Lanciando una monteta regolare sappiamo che la media campionaria ha la seguente distribuzione asintotica

$bar(X)_n~N(1/2;1/(4n))$ ovvero è asintoticamente una gaussiana di media $1/2$ e varianza 0. Questo è un altro modo di dire che la media converge in distribuzione alla costante $1/2$

Cosa peraltro ovvia, dato che abbiamo dimostrato precedentemente che la media converge debolmente (e, anche se non te l'ho dimostrato, in modo forte) ad $1/2$

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ì
Una curiosità: ma a scuola non te le spiegano queste cose?

[Davide901]

"ghira":[quote="Davide90"]
Non è vero. Se lancio una moneta due volte ed esce testa e poi croce, al terzo lancio cosa può succedere se quello che dici è vero?

[/quote]

Non è la stessa cosa. Nel tuo caso entra in gioco la probabilità condizionata e la probabilità che al lancio successivo esca testa è ovviamente 1/2.
Io parlo di infiniti lanci, prima che siano stati effettuati.

[Davide901]

Grazie a tutti per la risposta.

Rispondo a Tommik:
So che la distribuzione tende a una gaussiana e che le medie tendono a 1/2. Su questo ci siamo.
Il mio dubbio era perché la gaussiana, essendo nel continuo, presenta una probabilità nulla per qualsiasi risultato quando la media invece tende a 1/2.
Se ho capito stai dicendo semplicemente che la gaussiana per questo processo (con infiniti lanci) è piccata in 1/2? È diversa da zero solo per 1/2?

[ghira1]

"Davide90":
Non è la stessa cosa. Nel tuo caso entra in gioco la probabilità condizionata e la probabilità che al lancio successivo esca testa è ovviamente 1/2.
Io parlo di infiniti lanci, prima che siano stati effettuati.

Intendo che "la frequenza con cui compare testa si avvicina sempre più al 50%" non è un modo molto felice per esprimere la cosa.

[Davide901]

"ghira":[quote="Davide90"]
Intendo che "la frequenza con cui compare testa si avvicina sempre più al 50%" non è un modo molto felice per esprimere la cosa.

[/quote]
Perché? È così. Al crescere dei lanci la frequenza si avvicina sempre più al 50%.

[Davide901]

Avrei dovuto dire in media. Cioè effettuando varie prove di N lanci ognuna la frequenza si avvicina sempre più al 50% all' aumentare di N.
Ma pensavo fosse scontato, suvvia...