Inferenza statistica

[mariolino8999]

Salve, questo esercizio mi ha creato un po di problemi e spero che qualcuno possa aiutarmi:
Siano (xi,yi), i=1....n determinazioni indipendenti di una variabile casuale bivariata (X,Y) definita come segue:
$ Y|X= x ~ Exp(theta/x)=theta/x*e(-(theta/x)*y); X=beta*x^(beta-1) $
Dove $ theta in (0,1) ; beta in (0,1) $ sono i parametri ignoti.
1)scrivere la funzione di verosimiglianza per (theta, beta) , determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per (theta, beta)e calcolarne il valore sapendo che $ n=221; sum(y*x)=442; sum(log*x)=-184 $ :
$ L(theta, beta)= prod(beta*x^(beta-1)* (theta/x)*e^(-theta/x*y)) $ , allora:
$ (dl)/(d*theta)=-sum(y/x)+n/theta; hat(theta)=n/(sum(y/x)) $ e quindi non riesco a calcolare lo stimatore;mentre:
$ (dl)/(dbeta)=n/beta+ sum(log(x)); hat(beta)=(-n)/(sum(log(x)))=-221/-184=1,20 $
2)stabilire se lo stimatore di massima verosimiglianza del punto 1) è corretto :
Qui non riesco proprio a capire come fare a calcolare la media dei due stimatori!

[mariolino8999]

tommik il precedente esercizio l'ho capito, ti ringrazio ! Sono così preso dallo studio che mi sono dimenticato di scriverlo, mi scuso per questo. Mi faresti un grande favore aiutandomi, in vista del mio esame che è fra pochi giorni.

[mariolino8999]

[Lo_zio_Tom]

"mariolino8999":
Qui non riesco proprio a capire come fare a calcolare la media dei due stimatori!

Te ne faccio vedere uno:

$ hat (beta) =n/(-SigmalogX)$

$ Y=-logX$ si distribuisce come $ f (x)=beta e^(-betax) $

$ W= -Sigma logX~Gamma (n; beta) $

Quindi

$ E (hat (beta))=nint_(0)^(oo) 1/w (beta^n)/(Gamma (n)) w^(n-1) e^(-w beta) dw $

$=n/(n-1) beta int_(0)^(oo)(beta^(n-1))/(Gamma (n-1))w^((n-1)-1) e^(-wbeta) dw=n/(n-1) beta $


Ho fatto i conti a mente. ..dopo li riguardo a casa ma mi sembra tutto ok. Lo stimatore è distorto ma asintoticamente corretto, come tutti gli stimatori di mv

[mariolino8999]

Ho riguardato i tuoi passaggi e mi sembrano giusti, grazie mille! lo stimatore di theta l'ho rifatto mille volte e mi viene sempre y/x e non y*x come mi servirebbe per calcolarne il suo valore.

[mariolino8999]

Credo che il problema di theta sia il fatto che il suo stimatore non venga giusto. Infatti nel testo dell'esercizio mia da: ∑(y⋅x)=442 mentre nello stimatore ho ∑(y/x) e quindi non riesco a capire come calcolare il suo valore.

[Lo_zio_Tom]

forse hai solo parametrizzato male la densità condizionata.....oltretutto nel testo non hai nemmeno detto quale sia il dominio di X, che ovviamente è fra zero e uno...ma non l'hai scritto....come pure non mi piace lo spazio dei parametri...insomma ci sono diverse cose che non quadrano e i dati della tua traccia non sono coerenti: come puoi notare, ti viene $hat(beta)=1.2>1$ quando invece nella traccia scrivi che $beta in (0;1)$

*******************
Ciò premesso, la parametrizzazione che propongo io è questa:

$f(y|X=x)=x/theta e^(-x/theta y)$

$f(x)=beta x^(beta-1)$

$y>=0$

$0
$theta, beta >0$

Tale parametrizzazione è coerente, in quanto ottieni:

$f(x,y)=beta/theta x^beta e^(-x/theta y)$

$int_(0)^(1)int_(0)^(+oo)beta/theta x^beta e^(-x/theta y)dxdy=...=1$

*********************

Ora, dato il modello bivariato così fattorizzabile:

$f(x,y,theta,beta)=g(y,theta|X=x)h(x,beta)$

per stimare $theta$ possiamo concentrarci sul modello condizionato esponenziale:

$g_(Y|X)(theta)=x/theta e^(-x/theta y)$

quindi

$L_(Y|X)(theta)=x^n/theta^n e^(-x/theta Sigma_(i)y_(i))$

$logL=-nlogtheta-(xSigma_(i)y_(i))/theta$

$partial/(partial theta) logL=-n/theta+(xSigma_(i)y_(i))/theta^2$

$-ntheta+Sigma_(i)xy_(i)=0 rarr hat(theta)=(Sigma_(i)xy_(i))/n=442/221$

*************
$f(y|X=x)=x/theta e^(-x/theta y)$ ponendo $w=xy rarr y=w/x$ otteniamo subito che

$f(w)=1/theta e^(-w/theta)$

e quindi anche $z=Sigma_(i)w_(i)~Gamma(n;1/theta)$

in definitiva, senza fare conti si vede subito che

$E(hat(theta))=1/nE(z)=1/n n/(1/theta)=theta$

...questa è la mia opinione, opinione di uno che di mestiere fa il contabile....quindi vedi tu...

[ot]

"mariolino8999":... Mi faresti un grande favore aiutandomi, in vista del mio esame che è fra pochi giorni.

il favore più grande potresti fartelo tu, presentandoti all'esame solo quando sarai ben preparato, dato che passare un esame senza aver compreso bene i concetti non serve a nulla....IMHO[/ot]

[mariolino8999]

Hai ragione devo prepararmi meglio per l'esame. A tal proposito vorrei chiederti un ultima cosa: nel testo vi è $ Y|X=x ~ Exp(theta/x) $ ;
allora come mai tu hai scritto: $ Y|X= (x/theta)*Exp(-x/theta*y) $ e non $ Y|X= (theta/x)*Exp(-theta/x*y) $

[Lo_zio_Tom]

ho solo fatto un esempio coerente...se il testo è esattamente quello che hai scritto tu non si può nemmeno risolvere....

ti ho fatto notare quante incoerenze ci sono in quella traccia...mi pare (ed il fatto che tu non te ne accorga significa che hai ancora molti dubbi e confusione sull'argomento)

1) non si specifica il dominio di x

2) si dice che lo spazio dei parametri è il seguente:

$theta, beta in (0;1)$

ma poi ti dice che $Sigma logx=-184
ecc ecc

ti ho fatto solo un esempio di come si possa risolvere un esercizio del genere....tutto qui.

Faccio anche presente che non sono un insegnante e queste cose le guardo solo per hobby....quindi prendi ciò che ti dico con il dovuto beneficio di inventario

[mariolino8999]

Ti ringrazio, purtroppo il testo è esattamente quello che ho scritto. Tra l'altro questo è un tema d'esame che ci è stato dato da risolvere. Chiederò al mio insegnate se è sbagliato il testo. Buona Domenica!

[Lo_zio_Tom]

che quello da te postato sia il testo ORIGINALE E COMPLETO della traccia ne dubito fortemente:

ad esempio...cosa significa $Sigmaxy$? qual è la variabile che varia nella sommatoria? solo x, solo y, entrambe?

altro esempio: come fa una traccia a dire che

$X= beta x^(beta-1)$

sarà $f(x)= beta x^(beta-1)$

ed è necessario anche specificare dove varia x....non sei d'accordo?

Non ho voglia di fare i conti...li puoi fare tu...ma puoi anche controllare se è coerente un'ipotesi di $0
ed infatti, come pensavo, anche quel dato non è coerente!

prendiamo infatti la seguente distribuzione:

$f(x)=beta x^(beta-1)$

ovviamente con $00$

vogliamo provare che $0
${{: ( H_(0):beta>=1 ),( H_(1): beta<1 ) :}$

dato che la distribuzione appartiene alla famiglia esponenziale, per un noto teorema, la regione critica è

$C:{Sigmalogx
supponiamo $alpha=0.05$

e, a conti fatti, la regione di rifiuto viene

$-2Sigmalogx>chi_((442,0.05))^2=492$

ovvero $-Sigmalogx>=246$

mentre la traccia dice 184....incoerente...perché si accetta l'ipotesi che $beta>=1$

[mariolino8999]

effettivamente il tuo ragionamento è giusto! speriamo non capiti una cosa del genere anche all'esame!