Indipendenza di variabili aleatorie
Ciao a tutti, avrei un problema con un esercizio di probabilità...
Vengono date tre variabili aleatorie reali $X_1$, $X_2$, $X_3$ assolutamente continue, indipendenti e identicamente distribuite. Esse hanno tutte la stessa distribuzione di una variabile aleatoria reale $X$ la cui funzione densità di probabilità è $f_X(x)=e^(-x)1_{(0,+infty)}(x)$. Vengono poi definite altre tre variabili aleatorie:
$Y_1:= X_1/(X_1+X_2)$
$Y_2:=(X_1+X_2)/(X_1+X_2+X_3)$
$Y_3:=X_1+X_2+X_3$
Chiede di verificare se sono tra loro indipendenti.
Io ho calcolato la funzione densità di probabilità di $Y_3$ utilizzando la convoluzione tra la densità di $X_1+X_2$ e di $X_3$.
A questo punto però non so come procedere: ho pensato di calcolare tutte le densità di probabilità e provare a vedere se le rispettive congiunte fattorizzano nelle marginali, ma non ne sono molto convinto, e in ogni caso non saprei nemmeno come trattare variabili aleatorie come $1/(X_1+X_2)$... esiste un metodo alternativo? E come posso calcolare la densità di probabilità del reciproco di una variabile aleatoria?
Vengono date tre variabili aleatorie reali $X_1$, $X_2$, $X_3$ assolutamente continue, indipendenti e identicamente distribuite. Esse hanno tutte la stessa distribuzione di una variabile aleatoria reale $X$ la cui funzione densità di probabilità è $f_X(x)=e^(-x)1_{(0,+infty)}(x)$. Vengono poi definite altre tre variabili aleatorie:
$Y_1:= X_1/(X_1+X_2)$
$Y_2:=(X_1+X_2)/(X_1+X_2+X_3)$
$Y_3:=X_1+X_2+X_3$
Chiede di verificare se sono tra loro indipendenti.
Io ho calcolato la funzione densità di probabilità di $Y_3$ utilizzando la convoluzione tra la densità di $X_1+X_2$ e di $X_3$.
A questo punto però non so come procedere: ho pensato di calcolare tutte le densità di probabilità e provare a vedere se le rispettive congiunte fattorizzano nelle marginali, ma non ne sono molto convinto, e in ogni caso non saprei nemmeno come trattare variabili aleatorie come $1/(X_1+X_2)$... esiste un metodo alternativo? E come posso calcolare la densità di probabilità del reciproco di una variabile aleatoria?
Risposte
Ovviamente stiamo parlando di indipendenza a coppie, non di mutua indipendenza. Un'idea su come procedere ce l'ho...ma ci devo riflettere con calma: calcolerei le congiunte tramite il metodo dello jacobiano...ma per fare questo bisogna ridurre le variabili a due ( ed ho già in mente come fare).
Intanto ti fornisco alcune informazioni utili:
Sappiamo che le X sono esponenziali indipendenti quindi:
la densità di $ Sigma X $ si calcola senza fare conti:
$ X_(i) ~Exp (1) = Gamma (1; 1) $ indipendenti quindi la somma è una $ Gamma (3; 1)=x^2/2 e^(-x) $
Anche $1/(SigmaX) $ è una distribuzione nota: una Gamma inversa.
Purtroppo lavorando non ho molto tempo da dedicarci...ma ci penserò...o ci possiamo pensare insieme....
Oppure, alternativamente, si potrebbe calcolare la covarianza fra le variabili $(Y_(i),Y_(j))$ e, se esse risultassero correlate, non potrebbero essere indipendenti. Se invece la covarianza risultasse zero non potremmo dire nulla
******************
In sostanza il calcolo delle marginali è presto fatto:
$F_(Y_(1))(y_(1))=intint_(D)e^(-t)e^(-w)dtdw$
dove $D=X_(1)/(X_(1)+X_(2))<=y_(1)$
$F(y_(2))$ in maniera analoga essendo $Y_(2)=A/(A+B)$ con A e B indipendenti e $f_(A)(t)=t e^(-t)$ dato che appunto è una $Gamma(2;1)$
$f(y_(3))$ te l'ho già calcolata come una $Gamma(3;1)$.
saluti
Intanto ti fornisco alcune informazioni utili:
Sappiamo che le X sono esponenziali indipendenti quindi:
la densità di $ Sigma X $ si calcola senza fare conti:
$ X_(i) ~Exp (1) = Gamma (1; 1) $ indipendenti quindi la somma è una $ Gamma (3; 1)=x^2/2 e^(-x) $
Anche $1/(SigmaX) $ è una distribuzione nota: una Gamma inversa.
Purtroppo lavorando non ho molto tempo da dedicarci...ma ci penserò...o ci possiamo pensare insieme....
Oppure, alternativamente, si potrebbe calcolare la covarianza fra le variabili $(Y_(i),Y_(j))$ e, se esse risultassero correlate, non potrebbero essere indipendenti. Se invece la covarianza risultasse zero non potremmo dire nulla
******************
In sostanza il calcolo delle marginali è presto fatto:
$F_(Y_(1))(y_(1))=intint_(D)e^(-t)e^(-w)dtdw$
dove $D=X_(1)/(X_(1)+X_(2))<=y_(1)$
$F(y_(2))$ in maniera analoga essendo $Y_(2)=A/(A+B)$ con A e B indipendenti e $f_(A)(t)=t e^(-t)$ dato che appunto è una $Gamma(2;1)$
$f(y_(3))$ te l'ho già calcolata come una $Gamma(3;1)$.
saluti
Perfetto, il calcolo della densità di probabilità della somma l'ho eseguito nello stesso modo, così come il calcolo della cumulativa di $Y_1$. E' a questo punto che arrivano i problemi, nel senso che poi non so risalire alle densità congiunte... avevo un'altra idea ma non so se è corretta e, nel caso lo fosse, nemmeno se potrebbe risultare utile, ovvero quella di considerare i prodotti $Y_1(X_1+X_2)$ e $Y_2Y_3$, che risultano essere variabili aleatorie la cui densità di probabilità è facilmente calcolabile, ma non saprei poi come procedere... potresti chiarirmi il metodo con cui calcoleresti $F_{Y_2}$?
per risalire alle densità congiunte devi applicare il metodo dello jacobiano....
ora non ho tempo di farti vedere come ma penso che più semplicemente si possa calcolare facilmente la covarianza fra le variabili
prendiamo ad esempio $(Y_(2);Y_(3))$
possiamo vederle come
$Y_(2)=A/(A+B)$
$Y_(3)=A+B$
con A e B indipenenti e di distribuzione nota.
Per rispondere alla tua domanda, il calcolo di
$F_(Y_(2))$ lo farei esattamente come hai fatto con $F_(Y_(1))$ una volta espressa la variabile come
$Y_(2)=A/(A+B)$
sai che $f_(A)(t)=te^(-t)$ e $f_(B)(z)=e^(-z)$ quindi non ci sono problemi essendo A e B indipendenti. A conti fatti viene
$F_(Y_(2))(t)=t^2I_((0;1])(t)$
il calcolo della covarianza mi sembra più fattibile...ora purtroppo sono immerso nel lavoro di fine anno...ho bisogno di qualche ora di calma per riordinare le idee (non faccio il prof di mestiere)
ora non ho tempo di farti vedere come ma penso che più semplicemente si possa calcolare facilmente la covarianza fra le variabili
prendiamo ad esempio $(Y_(2);Y_(3))$
possiamo vederle come
$Y_(2)=A/(A+B)$
$Y_(3)=A+B$
con A e B indipenenti e di distribuzione nota.
Per rispondere alla tua domanda, il calcolo di
$F_(Y_(2))$ lo farei esattamente come hai fatto con $F_(Y_(1))$ una volta espressa la variabile come
$Y_(2)=A/(A+B)$
sai che $f_(A)(t)=te^(-t)$ e $f_(B)(z)=e^(-z)$ quindi non ci sono problemi essendo A e B indipendenti. A conti fatti viene
$F_(Y_(2))(t)=t^2I_((0;1])(t)$
il calcolo della covarianza mi sembra più fattibile...ora purtroppo sono immerso nel lavoro di fine anno...ho bisogno di qualche ora di calma per riordinare le idee (non faccio il prof di mestiere)
Va bene non preoccuparti, capisco che il periodo possa essere intenso! Comunque proverò a ragionare in termini di covarianza a questo punto e vedere se riesco a ricavare qualcosa, nel caso scriverò di nuovo su questo post, comunque grazie mille dell'aiuto!
Ho provato anch'io e non ho cavato fuori nulla... ritenterò con lo jacobiano, grazie ancora!
risolto........ 
molto semplicemente con lo Jacobiano, come l'intuizione che ho subito avuto.....
Facciamo il caso di $[Y_(2);Y_(3)]$
per alleggerire la notazione poniamo
$X_(1)+X_(2)=X~ Gamma(2;1)=xe^(-x)$
$X_(3)=Y~ Gamma(1;1)=e^(-y)$
inoltre ho già calcolato
$Y_(2)=Z=X/(X+Y)~f(z)=2zI_((0;1])(z)$
$Y_(3)=V=X+Y~Gamma(3;1)=v^2/2e^(-v)$
Dobbiamo calcolare la distribuzione congiunta di $(Z,V)=(X/(X+Y);(X+Y))$
${{: ( z=x/(x+y) ),( v=x+y ) :}rarr{{: ( x=vz ),( y=v(1-z)) :}$
$|| ( (partialx)/(partialz) , (partialx)/(partialv) ),( (partialy)/(partialz) , (partialy)/(partialv) ) || =|| ( v , z ),( -v , (1-z) ) ||=v$
quindi:
$f_(Z,V)(z,v)=f_(X,Y)[x(z,v);y(z,v)]|detJ|=vze^(-vz)e^(-v(1-z))\cdotv=v^2ze^(-v)=f_(Z)(z)f_(V)(v)$
ergo le variabili sono indipendenti...ora penso che tu possa fare gli altri casi in autonomia
nana! (ciao ciao)
molto semplicemente con lo Jacobiano, come l'intuizione che ho subito avuto.....
Facciamo il caso di $[Y_(2);Y_(3)]$
per alleggerire la notazione poniamo
$X_(1)+X_(2)=X~ Gamma(2;1)=xe^(-x)$
$X_(3)=Y~ Gamma(1;1)=e^(-y)$
inoltre ho già calcolato
$Y_(2)=Z=X/(X+Y)~f(z)=2zI_((0;1])(z)$
$Y_(3)=V=X+Y~Gamma(3;1)=v^2/2e^(-v)$
Dobbiamo calcolare la distribuzione congiunta di $(Z,V)=(X/(X+Y);(X+Y))$
${{: ( z=x/(x+y) ),( v=x+y ) :}rarr{{: ( x=vz ),( y=v(1-z)) :}$
$|| ( (partialx)/(partialz) , (partialx)/(partialv) ),( (partialy)/(partialz) , (partialy)/(partialv) ) || =|| ( v , z ),( -v , (1-z) ) ||=v$
quindi:
$f_(Z,V)(z,v)=f_(X,Y)[x(z,v);y(z,v)]|detJ|=vze^(-vz)e^(-v(1-z))\cdotv=v^2ze^(-v)=f_(Z)(z)f_(V)(v)$
ergo le variabili sono indipendenti...ora penso che tu possa fare gli altri casi in autonomia
nana! (ciao ciao)
Perfetto, sei stato chiarissimo, grazie mille! Buonanotte!
Scusami se riscrivo su questo post, ma ho un altro dubbio... ho provato a risolvere il caso $(Y_1,Y_2)$, ho provato ad operare così: le densità marginali sono note dai calcoli precedenti, per la congiunta ho riscritto le variabili aleatorie in questo modo
$Y_1=A$
$Y_2=1/(1+B)$ dove $B=X_3/(X_1+X_2)$.
Prima ho calcolato la densità di probabilità di $B$, ponendo $Z=X_1+X_2$ e calcolando la cumulativa:
$F_{X_3/Z}(y)=\int_{0}^{+\infty}( \int_{x_3/y}^{+\infty} z*e^{-z}*e^{-x_3}dz)dx_3=...=y/(1+y)*(1+1/(1+y))$
Quindi $f_{X_3/Z}(y)=F'_{X_3/Z}(y)=1/(1+y)^2 *(1+(1-y)/(1+y))$
A questo punto ho utilizzato il metodo dello jacobiano ponendo $Y_1$ e $Y_2$ come scritte sopra, ho eseguito i conti (sperando nella loro correttezza) e il risultato è:
$f_{(Y_1,Y_2)}(y_1,y_2)=y_1*e^{-y_1}*(3y_2-1)/y_2$
Dunque $Y_1$ e $Y_2$ non sono indipendenti... è giusto il ragionamento?
$Y_1=A$
$Y_2=1/(1+B)$ dove $B=X_3/(X_1+X_2)$.
Prima ho calcolato la densità di probabilità di $B$, ponendo $Z=X_1+X_2$ e calcolando la cumulativa:
$F_{X_3/Z}(y)=\int_{0}^{+\infty}( \int_{x_3/y}^{+\infty} z*e^{-z}*e^{-x_3}dz)dx_3=...=y/(1+y)*(1+1/(1+y))$
Quindi $f_{X_3/Z}(y)=F'_{X_3/Z}(y)=1/(1+y)^2 *(1+(1-y)/(1+y))$
A questo punto ho utilizzato il metodo dello jacobiano ponendo $Y_1$ e $Y_2$ come scritte sopra, ho eseguito i conti (sperando nella loro correttezza) e il risultato è:
$f_{(Y_1,Y_2)}(y_1,y_2)=y_1*e^{-y_1}*(3y_2-1)/y_2$
Dunque $Y_1$ e $Y_2$ non sono indipendenti... è giusto il ragionamento?
dunque....anche secondo me le variabili $[Y_(1);Y_(2)]$ non sono indipendenti. Il ragionamento che hai fatto non mi convince molto, ma non avendo tutti i passaggi (che posso capire siano articolati) non ti posso dire nulla.
Tieni presente quanto segue:
Nel caso di $[Y_(2);Y_(3)]$ ho fatto il seguente ragionamento:
${{: ( Y_(2)=(X_(1)+X_(2))/(X_(1)+X_(2)+X_(3))=A/(A+B) ),( Y_(3)=X_(1)+X_(2)+X_(3)=A+B ) :}rarr{{: ( A=X_(1)+X_(2) ),( B=X_(3) ) :}$
da cui si vede bene che $A$ e $B$ sono indipendenti in quanto costruiti su variabili diverse, tutte iid.
Nel caso che hai proposto tu, invece, hai fatto così:
${{: ( Y_(1)=X_(1)/(X_(1)+X_(2))=A ),( Y_(2)=(X_(1)+X_(2))/(X_(1)+X_(2)+X_(3))=1/(1+B) ) :}rarr{{: ( A= X_(1)/(X_(1)+X_(2))),( B=X_(3)/(X_(1)+X_(2)) ) :}$
ora come puoi ben vedere non è così immediato asserire che $A$ e $B$ sono indipendenti e quindi utilizzare lo Jacobiano. Quindi se hai prima stabilito che in questo caso $A$ e $B$ sono indipendenti va bene...altrimenti no perché non è così immediato calcolare la distribuzione congiunta di $(A,B)$...
Oltretutto, dato che ipotizziamo che le variabili $[Y_(1);Y_(2)]$ non siano indipendenti.....l'esercizio si può risolvere più facimente tentando di trovare una covarianza diversa da zero.
Infatti mi sembra molto più agevole il calcolo di
$E[Y_(1)\cdotY_(2)]-E[Y_(1)]E[Y_(2)]$
$E[X_(1)/(X_(1)+X_(2)+X_(3))]-E[X_(1)/(X_(1)+X_(2))]E[(X_(1)+X_(2))/(X_(1)+X_(2)+X_(3))]$
non trovi?
Io ho provato ad impostare i calcoli per la covarianza e mi sembra che fili tutto liscio...è un po' lunghetto perché devi calcolare un paio di trasformazioni di variabile
EDIT: no, con la covarianza non si arriva a nulla perché viene sempre zero. Per risolvere i punti restanti occorre utlizzare il metodo dello jacobiano generalizzato per n>2.
Tieni presente quanto segue:
Nel caso di $[Y_(2);Y_(3)]$ ho fatto il seguente ragionamento:
${{: ( Y_(2)=(X_(1)+X_(2))/(X_(1)+X_(2)+X_(3))=A/(A+B) ),( Y_(3)=X_(1)+X_(2)+X_(3)=A+B ) :}rarr{{: ( A=X_(1)+X_(2) ),( B=X_(3) ) :}$
da cui si vede bene che $A$ e $B$ sono indipendenti in quanto costruiti su variabili diverse, tutte iid.
Nel caso che hai proposto tu, invece, hai fatto così:
${{: ( Y_(1)=X_(1)/(X_(1)+X_(2))=A ),( Y_(2)=(X_(1)+X_(2))/(X_(1)+X_(2)+X_(3))=1/(1+B) ) :}rarr{{: ( A= X_(1)/(X_(1)+X_(2))),( B=X_(3)/(X_(1)+X_(2)) ) :}$
ora come puoi ben vedere non è così immediato asserire che $A$ e $B$ sono indipendenti e quindi utilizzare lo Jacobiano. Quindi se hai prima stabilito che in questo caso $A$ e $B$ sono indipendenti va bene...altrimenti no perché non è così immediato calcolare la distribuzione congiunta di $(A,B)$...
Oltretutto, dato che ipotizziamo che le variabili $[Y_(1);Y_(2)]$ non siano indipendenti.....l'esercizio si può risolvere più facimente tentando di trovare una covarianza diversa da zero.
Infatti mi sembra molto più agevole il calcolo di
$E[Y_(1)\cdotY_(2)]-E[Y_(1)]E[Y_(2)]$
$E[X_(1)/(X_(1)+X_(2)+X_(3))]-E[X_(1)/(X_(1)+X_(2))]E[(X_(1)+X_(2))/(X_(1)+X_(2)+X_(3))]$
non trovi?
Io ho provato ad impostare i calcoli per la covarianza e mi sembra che fili tutto liscio...è un po' lunghetto perché devi calcolare un paio di trasformazioni di variabile
EDIT: no, con la covarianza non si arriva a nulla perché viene sempre zero. Per risolvere i punti restanti occorre utlizzare il metodo dello jacobiano generalizzato per n>2.
Obiettivamente a fare tutto con lo jacobiano si impiega parecchio tempo, con ovvio rischio di errori di calcolo ecc... in effetti ho dato per scontato (sbaglio enorme) che $A$ e $B$ fossero indipendenti deducendolo "a intuito", cosa che può essere assolutamente errata... ricontrollerò se con la covarianza il procedimento si velocizza. Comunque grazie di nuovo! 
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