Indipendenza di V.A. per il calcolo del valore atteso
Buonasera a tutti,
ho trovato questo esercizio tratto da un tema d'esame di un anno fa e sono rimasto sconvolto dalla sua risoluzione. Quindi, dopo aver cercato per due ore di risolverlo, ho sprecato un'altra mezz'ora buona a capire un passaggio della soluzione, anche stavolta senza successo.
L'esercizio è questo:
siano \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)due variabili aleatorie di Poisson, INDIPENDENTI, di parametro 2 e 3.
Calcolare il valore atteso di \(\displaystyle X(1-X)Y \)
Questo è il passaggio cruciale della risoluzione che non capisco:
\(\displaystyle E(X(1-X)Y)= E(\left (X-X^{2} \right )Y)=E(X-X^{2})\cdot E(Y) \)
Dopo ovviamente è tutto liscio come l'olio. Ma perchè mai se due poissoniane \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)sono indipendenti, lo sono anche \(\displaystyle X(1-X) \) e \(\displaystyle Y \)?
ho trovato questo esercizio tratto da un tema d'esame di un anno fa e sono rimasto sconvolto dalla sua risoluzione. Quindi, dopo aver cercato per due ore di risolverlo, ho sprecato un'altra mezz'ora buona a capire un passaggio della soluzione, anche stavolta senza successo.
L'esercizio è questo:
siano \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)due variabili aleatorie di Poisson, INDIPENDENTI, di parametro 2 e 3.
Calcolare il valore atteso di \(\displaystyle X(1-X)Y \)
Questo è il passaggio cruciale della risoluzione che non capisco:
\(\displaystyle E(X(1-X)Y)= E(\left (X-X^{2} \right )Y)=E(X-X^{2})\cdot E(Y) \)
Dopo ovviamente è tutto liscio come l'olio. Ma perchè mai se due poissoniane \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)sono indipendenti, lo sono anche \(\displaystyle X(1-X) \) e \(\displaystyle Y \)?
Risposte
Scusatemi ma ho trovato un altro esercizio del mio professore in cui ci sono sempre due variabili \(\displaystyle X \)ed \(\displaystyle Y \)indipendenti, con \(\displaystyle X\sim B(2,0.2) \) e \(\displaystyle Y\sim N(1,9) \).
L'esercizio chiede di calcolare il valore atteso della v.a. \(\displaystyle \frac{XY}{X+1} \)
Anche qui nella risoluzione, scrive che:
\(\displaystyle E\left (\frac{XY}{X+1} \right )=E(\frac{X}{X+1})\cdot E\left ( Y \right ) \)
Io non capisco
Ma esiste qualche proprietà generale per cui, essendo \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)indipendenti, lo sono anche \(\displaystyle f(X) \) e \(\displaystyle Y \)? Oppure è solo in questi due esercizi che questa proprietà è verificata per qualche arcano motivo? Aiuto! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
L'esercizio chiede di calcolare il valore atteso della v.a. \(\displaystyle \frac{XY}{X+1} \)
Anche qui nella risoluzione, scrive che:
\(\displaystyle E\left (\frac{XY}{X+1} \right )=E(\frac{X}{X+1})\cdot E\left ( Y \right ) \)
Io non capisco
Ma esiste qualche proprietà generale per cui, essendo \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)indipendenti, lo sono anche \(\displaystyle f(X) \) e \(\displaystyle Y \)? Oppure è solo in questi due esercizi che questa proprietà è verificata per qualche arcano motivo? Aiuto!
Mi viene in mente la proprietà per gli eventi:
Se $A$ e $B$ sono indipendenti:
$ P(bar{A}*B)=P((S-A)*B)=P(S*B-A*B)=P(B-A*B)=P(B)-P(A*B)=P(B)-P(A)*P(B)=(1-P(A))*P(B)=P(bar{A})*P(B) $
Non saprei dirti come funziona con le VA...
Se $A$ e $B$ sono indipendenti:
$ P(bar{A}*B)=P((S-A)*B)=P(S*B-A*B)=P(B-A*B)=P(B)-P(A*B)=P(B)-P(A)*P(B)=(1-P(A))*P(B)=P(bar{A})*P(B) $
Non saprei dirti come funziona con le VA...
Ed eccone un altro! Aiuto!! Mi perseguitano!!
Essendo \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{2} \) indipendenti ed identicamente distribuite, con distribuzione:
\(\displaystyle P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{3} \)
calcolare il valore atteso della v.a. \(\displaystyle \frac{X_{1}+1}{1+\left | X_{2} \right |} \)
Ovviamente il primo passaggio della risoluzione è:
\(\displaystyle E\left (\frac{X_{1}+1}{1+\left | X_{2} \right |} \right )=E(X_{1}+1)\cdot E(\frac{1}{1+\left | X_{2} \right |}) \)
Essendo \(\displaystyle X_{1} \) e \(\displaystyle X_{2} \) indipendenti ed identicamente distribuite, con distribuzione:
\(\displaystyle P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{3} \)
calcolare il valore atteso della v.a. \(\displaystyle \frac{X_{1}+1}{1+\left | X_{2} \right |} \)
Ovviamente il primo passaggio della risoluzione è:
\(\displaystyle E\left (\frac{X_{1}+1}{1+\left | X_{2} \right |} \right )=E(X_{1}+1)\cdot E(\frac{1}{1+\left | X_{2} \right |}) \)
Dunque, penso di esserci.
Il problema di questi tre esercizi è che, date una \(\displaystyle X \) e una \(\displaystyle Y \)indipendenti, si vuole sapere se \(\displaystyle f(X) \) e \(\displaystyle f(Y) \) sono anch' esse indipendenti. Forse ho capito perchè lo sono:
\(\displaystyle p(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y) \) se \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)sono indipendenti.
Dati i sottoinsiemi di \(\displaystyle \mathbb{R} \) \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \), \(\displaystyle A' \), \(\displaystyle B' \), si può scrivere:
\(\displaystyle p\left [f(x),f(y) \right ]=p\left [f(X)\in A',f(Y)\in B' \right ]=p(X\in A,Y\in B)=p(X\in A)\cdot p(Y\in B)=p(f(X)\in A')\cdot p(f(Y)\in B') \),
da cui si può concludere che \(\displaystyle f(X) \) e \(\displaystyle f(Y) \) sono INDIPENDENTI. Giusto?
Il problema di questi tre esercizi è che, date una \(\displaystyle X \) e una \(\displaystyle Y \)indipendenti, si vuole sapere se \(\displaystyle f(X) \) e \(\displaystyle f(Y) \) sono anch' esse indipendenti. Forse ho capito perchè lo sono:
\(\displaystyle p(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y) \) se \(\displaystyle X \)e \(\displaystyle Y \)sono indipendenti.
Dati i sottoinsiemi di \(\displaystyle \mathbb{R} \) \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \), \(\displaystyle A' \), \(\displaystyle B' \), si può scrivere:
\(\displaystyle p\left [f(x),f(y) \right ]=p\left [f(X)\in A',f(Y)\in B' \right ]=p(X\in A,Y\in B)=p(X\in A)\cdot p(Y\in B)=p(f(X)\in A')\cdot p(f(Y)\in B') \),
da cui si può concludere che \(\displaystyle f(X) \) e \(\displaystyle f(Y) \) sono INDIPENDENTI. Giusto?
Grazie mille per l'aiuto e buona giornata 
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