Indipendenza
Ho un esercizio svolto che è il seguente:
Ho un urna con tot palline bianche e tot palline nere. Devo calcolare la probabilità che, nell'estrazione di due palline, siano una bianca e una nera. Trovata la probabilità P che alla prima estrazione la pallina sia bianca e la probabilità Q|P che la seconda pallina sia nera dopo averne estratta una bianca...per trovare l'effettiva probabilità richiesta moltiplica P e Q|P, credo sfruttando la definizione di eventi indipendenti no? Questa ovviamente non è la probabilità totale perché oltre il caso bianca-nera potrebbe verificarsi il caso nera-bianca...e infatti ripete il ragionamento e poi somma le due probabilità e qui niente di strano.
Volevo soffermarmi sulla definizione di indipendenza.
Io so che due eventi A e B sono indipendenti se $ A nn B =P(A)P(B) $
In parole spicciole, due eventi sono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influisce sulla probabilità del verificarsi dell'altro giusto?
Ora...è sufficiente porsi questa domanda per riconoscere eventi indipendenti e quindi poter applicare la formula? O qualche volta questo non basta? C'è un altro ragionamento da fare?
Ho un urna con tot palline bianche e tot palline nere. Devo calcolare la probabilità che, nell'estrazione di due palline, siano una bianca e una nera. Trovata la probabilità P che alla prima estrazione la pallina sia bianca e la probabilità Q|P che la seconda pallina sia nera dopo averne estratta una bianca...per trovare l'effettiva probabilità richiesta moltiplica P e Q|P, credo sfruttando la definizione di eventi indipendenti no? Questa ovviamente non è la probabilità totale perché oltre il caso bianca-nera potrebbe verificarsi il caso nera-bianca...e infatti ripete il ragionamento e poi somma le due probabilità e qui niente di strano.
Volevo soffermarmi sulla definizione di indipendenza.
Io so che due eventi A e B sono indipendenti se $ A nn B =P(A)P(B) $
In parole spicciole, due eventi sono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influisce sulla probabilità del verificarsi dell'altro giusto?
Ora...è sufficiente porsi questa domanda per riconoscere eventi indipendenti e quindi poter applicare la formula? O qualche volta questo non basta? C'è un altro ragionamento da fare?
Risposte
Forse hai sbagliato a scrivere:
due eventi $A$ e $B$ sono indipendenti quando $P(A|B)=P(A)$, cioé quando $P(A nn B)=P(A)P(B)$
due eventi $A$ e $B$ sono indipendenti quando $P(A|B)=P(A)$, cioé quando $P(A nn B)=P(A)P(B)$
Vero. Corretto.
Ma quindi...cavolo! Qua è stata applicata la probabilità condizionata ricavando $A nn B$ ! non l'indipendenza.
Però comunque la mia domanda rimane...come fare a riconoscere gli eventi indipendenti?
Ma quindi...cavolo! Qua è stata applicata la probabilità condizionata ricavando $A nn B$ ! non l'indipendenza.
Però comunque la mia domanda rimane...come fare a riconoscere gli eventi indipendenti?
Domanda:
l'estrazione dell'esercizio è con reinserimento o senza?
l'estrazione dell'esercizio è con reinserimento o senza?
Senza reinserimento.
"ghiozzo":
Senza reinserimento.
Quindi direi che gli eventi non sono indipendenti, in quanto la probabilità relativa alla seconda estrazione dipende dal risultato della prima.
Se quello che ti interessa è solo di capire il significato di eventi indipendenti
allora, tra tutti, il miglior ragionamento che puoi fare (nel senso il più intuitivo) è questo:
se sono indipendenti il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro
quindi matematicamente
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))=P(A)$
tale relazione vale se e solo se $P(A nn B)=P(A)P(B)$
che è una relazione che in se e per se ha un significato, secondo me, più geometrico di indipendenza.
Dopodiché, come sempre in matematica, si possono fare diverse manipolazioni
algebriche che restituiscono uguaglianze corrette ma il ragionamento base, per me, è quello sopra.
allora, tra tutti, il miglior ragionamento che puoi fare (nel senso il più intuitivo) è questo:
se sono indipendenti il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro
quindi matematicamente
$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))=P(A)$
tale relazione vale se e solo se $P(A nn B)=P(A)P(B)$
che è una relazione che in se e per se ha un significato, secondo me, più geometrico di indipendenza.
Dopodiché, come sempre in matematica, si possono fare diverse manipolazioni
algebriche che restituiscono uguaglianze corrette ma il ragionamento base, per me, è quello sopra.
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