Indeterminazione di una grandezza di una regressione exp

[Xavier310]

Salve ragazzi :looool: ho un piccolo problema nell'associare l'indeterminazione di una grandezza in una regressione esponenziale.

Cioè, avendo ad esempio

y=e^{bx}

per linearizzare la relazione e fare i minimi quadrati applico il logaritmo

[tex]ln(y)=bx[/tex]

qual è l'errore da associare a b? E qual è l'errore da associare a [tex]ln y[/tex]?

Il tutto dopo vorrei riportarlo su scala logaritmica e fare un fit lineare (anche per questo mi servono le indeterminazioni)

[Xavier310]

Semplicemente la situazione è la seguente:

Ad esempio, avendo a disposizione i seguenti dati (derivati dallo studio della legge di svuotamento di un tubo attraverso dei capillari), voglio verificare come varia la massa in funzione del tempo. La relazione è i dati sono i seguenti:

[tex]m(t)=\rho S h_0(1-e^{-\frac{t}{\tau}})[/tex]

Massa, Raccolta #1
Tempo ( s )	Massa ( g )
1.3	8.80
2.2	14.30
3.2	19.70
4.1	25.20
5.1	30.70
6.0	36.10
7.0	41.40
8.0	46.70
8.9	51.80
9.9	56.80
10.9	61.80
11.8	66.60
12.8	71.40
13.7	76.10
14.7	80.70
15.7	85.20
16.6	89.60
17.6	93.90
18.5	98.20
19.5	102.30
20.5	106.30
21.4	110.40
22.4	114.20
23.3	118.00
24.3	121.70
25.3	125.40
26.2	128.90
27.2	132.40
28.1	135.80
29.1	139.10
30.1	142.20
31.0	145.40
32.0	148.50
32.9	151.40
33.9	154.30
34.9	157.00
35.8	159.70
36.8	162.40
37.7	164.90
38.7	167.40
39.7	169.80
40.6	172.00
41.6	174.30
42.5	176.50
43.5	178.30
44.5	180.00
45.4	182.60
46.4	184.40
47.3	186.20
48.3	187.50

Voglio linearizzare la funzione, quindi facendo il logaritmo ottengo

[tex]-\frac{t}{\tau}=ln(1-\frac{m(t)}{\rho h_0 S})[/tex]

Voglio riportare tutto su carta semilogaritmica, ed associare una tabella dove sono riportati i valori delle misure e delle incertezze (:looool:)

1) per quanto riguarda il coefficiente angolare, che in questo caso è [tex]b=-\frac{1}{\tau}[/tex], utilizzo la relazione:

[tex]\frac{n\sum x_i ln y_i \sum x_i^2 - \sum x_i \sum x_i ln y_i}{n\sum x_i^2 -(\sum x_i)^2}[/tex]

esatto?

Come trovare l'icertezza da associare?

Da quanto ho capito, si potrebbe trovare considerando che:

[tex]\Delta(lny) = \Delta(bx)[/tex]

cioè:

[tex]\frac{\Delta y}{y} = b\Delta x + x \Delta b,[/tex]

dalla quale:

[tex]\Delta b = \frac{\Delta y}{xy}-\frac{b \Delta x}{x}.[/tex]


Ma x e y cosa sono? (Ne ho 60 di x e y ) Cioè ai fini pratici quali sono i calcoli che devo fare per trovare l'incertezza?

Ora, quale incertezza devo associare all'asse logaritmico? Cioè da qualche parte ho letto che varia per ogni singola misura? Quindi

[tex]lny \pm ... ?[/tex]

Ti ringrazio della disponibilità!

[Xavier310]

Hai ragione, scusami! Nell'esempio sono tutte costanti tranne m(t) [massa] e t [tempo]! Con l'esempio volevo indicare quale sia il caso in cui vorrei sapere come trovare l'incertezza sull'asse logaritmico e l'incertezza sul coefficiente b, avendo appunto la relazione

[tex]lny=bx[/tex]

Se può aiutarti:

Ora, come prima cosa ho registrato i dati, dopo aver inserito l'acqua nel tubo principale fino a un'altezza di h0=64 cm

S è la sezione del tubo verticale grande, il quale raggio è R=1,1 cm

[tex]\rho[/tex] è la densità e [tex]\tau[/tex] è una costante di tempo

[Xavier310]

Ma in linea generale, il mio approccio è corretto comunque?

Il fatto è che mi serve sapere quanto vale il coefficiente angolare e la sua incertezza (dopo aver fatto i minimi quadrati sulla regressione esponenziale che ho linearizzato), in quanto nella mi relazione il coefficiente angolare corrisponde a una costante di tempo, e nella relazione devo scrivere la costante di tempo e l'incertezza associata

[Xavier310]

Quindi non ci sono strade se volessi conoscere l'incertezza del coefficiente angolare trovato con i minimi quadrati? Cioè questa costante di tempo [tex]\tau[/tex] non ha un incertezza?