In che modo la somma di $n$ esponenziali con parametro $lambda$ è una $\Gamma(n,lambda)$?
Qui https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_esponenziale leggo che "la somma $Y = X_1 + ... + X_n $ di $n$ variabili aleatorie indipendenti di medesima legge esponenziale con parametro $lambda$ segue la distribuzione Gamma $(n,lambda)$".
Come si capisce?
$X_1 ~ Esp(lambda)$ ha come funzione $lambda exp (-lambda x_i)$
La funzione di una Gamma $(n,lambda)$ corrisponde a: $(lambda^n)/(\Gamma(n))Y^(n-1)exp(-lambda y)$
Come ci arrivo?!?
Grazie!
Come si capisce?
$X_1 ~ Esp(lambda)$ ha come funzione $lambda exp (-lambda x_i)$
La funzione di una Gamma $(n,lambda)$ corrisponde a: $(lambda^n)/(\Gamma(n))Y^(n-1)exp(-lambda y)$
Come ci arrivo?!?
Grazie!
Risposte
Iniziamo con il caso piu' semplice dove $S=X_1+X_2$.
Siccome le due v. esponenziali sono indipendenti, la loro probabilita' congiunta e' semplicemente il prodotto delle due, ovvero
$f(x_1, x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda (x_1+x_2)}$.
Ma $s= x_1+x_2$, quindi
$f(x_1, x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda s}$.
Ora pero' dobbiamo "contare" o misurare tutti i modi in cui $x_1$ e $x_2$ realizzano la somma $s$.
Quindi andiamo ad integrare la pdf della funzione somma per tutti i valori che puo' assumere $x_1$ ad es. cioe' $x\in [0,s]$.
$\int_0^s f(x_1, x_2) d\ x_1 = int_0^s \lambda^2 e^{-\lambda s} d\x_1 = \lambda^2 e^{-\lambda s} int_0^s d\x_1 = \lambda^2 s e^{-\lambda s}$
Ora vediamo se ci ritroviamo con la distribuzione Gamma...
$ "Gamma"(n,\lambda) = (lambda^n)/((n-1)!)x^(n-1)e^{-\lambda x} $
In effetti:
$ "Gamma"(2,\lambda) = lambda^2 x e^{-\lambda x} $
Da notare che per $n \in NN$, $\Gamma(n) = (n-1)!$
Piu' interessanti sono i casi con la somma di piu' variabili.
Ad esempio con la somma di 4 variabili, l'integrale visto prima diventa
$\lambda^4 e^{-\lambda s} int_0^s int_0^{s-x_1} int_0^{s-x_1-x_2} d\x_3\ d\x_2\ d\x_1 = \lambda^4 e^{-\lambda s} s^3/{3!}$
In generale
$int_0^s int_0^{s-x_1} int_0^{s-x_1-x_2}\ \cdots\ int_0^{s- \sum_{i=1}^{n-1} x_i} d\x_{n-1}\ \cdots\ d\x_3\ d\x_2\ d\x_1 = s^{n-1}/{(n-1)!}$
confermando cio' che si legge nella formula della distribuzione Gamma.
Siccome le due v. esponenziali sono indipendenti, la loro probabilita' congiunta e' semplicemente il prodotto delle due, ovvero
$f(x_1, x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda (x_1+x_2)}$.
Ma $s= x_1+x_2$, quindi
$f(x_1, x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda s}$.
Ora pero' dobbiamo "contare" o misurare tutti i modi in cui $x_1$ e $x_2$ realizzano la somma $s$.
Quindi andiamo ad integrare la pdf della funzione somma per tutti i valori che puo' assumere $x_1$ ad es. cioe' $x\in [0,s]$.
$\int_0^s f(x_1, x_2) d\ x_1 = int_0^s \lambda^2 e^{-\lambda s} d\x_1 = \lambda^2 e^{-\lambda s} int_0^s d\x_1 = \lambda^2 s e^{-\lambda s}$
Ora vediamo se ci ritroviamo con la distribuzione Gamma...
$ "Gamma"(n,\lambda) = (lambda^n)/((n-1)!)x^(n-1)e^{-\lambda x} $
In effetti:
$ "Gamma"(2,\lambda) = lambda^2 x e^{-\lambda x} $
Da notare che per $n \in NN$, $\Gamma(n) = (n-1)!$
Piu' interessanti sono i casi con la somma di piu' variabili.
Ad esempio con la somma di 4 variabili, l'integrale visto prima diventa
$\lambda^4 e^{-\lambda s} int_0^s int_0^{s-x_1} int_0^{s-x_1-x_2} d\x_3\ d\x_2\ d\x_1 = \lambda^4 e^{-\lambda s} s^3/{3!}$
In generale
$int_0^s int_0^{s-x_1} int_0^{s-x_1-x_2}\ \cdots\ int_0^{s- \sum_{i=1}^{n-1} x_i} d\x_{n-1}\ \cdots\ d\x_3\ d\x_2\ d\x_1 = s^{n-1}/{(n-1)!}$
confermando cio' che si legge nella formula della distribuzione Gamma.
"Quinzio":
Iniziamo con il caso piu' semplice...
Grazie Quinzio!
Potrebbe essere più "semplice":
1) visto che l' $Esp(lambda)$ è una $\Gamma(1,lambda)$, perchè la funzione di densità di una $\Gamma(1,lambda)$ è uguale alla densità di $Esp(lambda)$
2) La somma di $n$ densità $\Gamma(1,lambda)$ si ottiene sommando i parametri di forma, quindi otteniamo $n$, e lasciando inalterato il parametro di scala $lambda$, ecco quindi arrivati alla $\Gamma(n,lambda)$
Non so però se si può fare questo ragionamento con ogni distribuzione avente un parametro di forma ed uno di scala...
"alessandromagno08":
1) visto che l' $Esp(lambda)$ è una $\Gamma(1,lambda)$, perchè la funzione di densità di una $\Gamma(1,lambda)$ è uguale alla densità di $Esp(lambda)$
Ok certo. Buona osservazione.
2) La somma di $n$ densità $\Gamma(1,lambda)$ si ottiene sommando i parametri di forma, quindi otteniamo $n$, e lasciando inalterato il parametro di scala $lambda$, ecco quindi arrivati alla $\Gamma(n,lambda)$
Ok, questo pero' sposta il problema nel cercare di capire come la somma di tante Gamma sia ancora una Gamma.
Non so però se si può fare questo ragionamento con ogni distribuzione avente un parametro di forma ed uno di scala...
"alessandromagno08":
Non so però se si può fare questo ragionamento con ogni distribuzione avente un parametro di forma ed uno di scala...
A pelle, direi di no. E credo si possa costruire un controesempio.
Comunque sia, la definizione di Gamma è proprio "la somma di n variabili indipendenti e identicamente distribuite come un esponenziale di parametro $lambda$".
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