Importante: esercizio su un modello MA di ordine 2
Salve a tutti! Sono alle prese con un esercizio per un esame di Elaborazione dei segnali. Il testo è il seguente:
Per simulare un segnale biologico, si vuole utilizzare un modello MA di ordine 2
[tex]y\((n )\) =u\((n) \) + b_{1}u\((n - 1 )\) + b_{2}u\((n - 2 )\)[/tex]
dove [tex]u\((n)\)[/tex] è un rumore bianco stazionario, a media nulla e varianza sigma^2 (scusate ma non sono riuscita a scriverlo con LaTex!)
Supponendo bo = 1, b1 = 0.8, b2 = 0.2 e varianza = 100 e che i processi di ingresso e uscita siano gaussiani, calcolare i rispettivi intervalli, all'interno dei quali cade la quasi totalità (a meno di un 5%) dei valori
Visto che si parla di gaussiane e di intervalli di confidenza per i valori ho pensato subito al t-test (o test di Student che dir si voglia) ma non l'ho mai visto applicato a un modello MA o AR o ARMA... finora l'ho usato soltanto per riconoscere se due campioni provengono dalla stessa popolazione. Sono fuori strada? Qualcuno può darmi un aiuto? Spero di essermi spiegata bene! Grazie in anticipo!
Per simulare un segnale biologico, si vuole utilizzare un modello MA di ordine 2
[tex]y\((n )\) =u\((n) \) + b_{1}u\((n - 1 )\) + b_{2}u\((n - 2 )\)[/tex]
dove [tex]u\((n)\)[/tex] è un rumore bianco stazionario, a media nulla e varianza sigma^2 (scusate ma non sono riuscita a scriverlo con LaTex!)
Supponendo bo = 1, b1 = 0.8, b2 = 0.2 e varianza = 100 e che i processi di ingresso e uscita siano gaussiani, calcolare i rispettivi intervalli, all'interno dei quali cade la quasi totalità (a meno di un 5%) dei valori
Visto che si parla di gaussiane e di intervalli di confidenza per i valori ho pensato subito al t-test (o test di Student che dir si voglia) ma non l'ho mai visto applicato a un modello MA o AR o ARMA... finora l'ho usato soltanto per riconoscere se due campioni provengono dalla stessa popolazione. Sono fuori strada? Qualcuno può darmi un aiuto? Spero di essermi spiegata bene! Grazie in anticipo!
Risposte
Dunque, vediamo se due teste pensanti riescono a combinare qualcosa 
La traccia dice:
calcolare i rispettivi intervalli (cioè gli intervalli relativi ad ogni processo gaussiano $u(n)$ e per l'uscita $y(n)$) nei quali cade il $5%$ della totalità dei valori.
Quindi per ogni processo, inteso come :
$x_0(n)=b_0 u(n)$
$x_1(n)=b_1 u(n-1)$
$x_2(n)=b_2 u(n-2)$
$x_3(n)= u(n)+b_1u(n-1)+b_2u(n-2)$
dobbiamo calcolare gli intervalli $L_0,L_1,L_2,L3$ tali per cui:
$P[x_0(n) in L_0]>= 0.05$
$P[x_1(n) in L_1]>= 0.05$
$P[x_2(n) in L_2]>= 0.05$
$P[x_3(n) in L_3]>= 0.05$
Ora osserviamo che $x_0,x_1,x_2$ sono processi Gaussiani a media zero e varianza:
$sigma^2_i=E[(x_i(n))^2]=(b_i)^2*E[(u(n-i))^2]$ con $i=0,1,2$
per l'ipotesi di stazionarietà $E[(u(n-i))^2]=100$.
Il processo $x_3(n)$ è Gaussiano (è una combinazione lineare di processi Gaussiani) , con media nulla ( somma dei singoli valori attesi) e varianza data dalla somma delle varianze $(sigma_i)^2$ (per il fatto che il processo $u(n$) e bianco cioè incorrelato).
Se vuoi puoi varificare che:
$E[(x_3(n))^2]=sum_(i=0)^2 sigma^2_i$
A questo punto hai tutto per calcolare le gli intervalli richiesti.
La traccia dice:
calcolare i rispettivi intervalli (cioè gli intervalli relativi ad ogni processo gaussiano $u(n)$ e per l'uscita $y(n)$) nei quali cade il $5%$ della totalità dei valori.
Quindi per ogni processo, inteso come :
$x_0(n)=b_0 u(n)$
$x_1(n)=b_1 u(n-1)$
$x_2(n)=b_2 u(n-2)$
$x_3(n)= u(n)+b_1u(n-1)+b_2u(n-2)$
dobbiamo calcolare gli intervalli $L_0,L_1,L_2,L3$ tali per cui:
$P[x_0(n) in L_0]>= 0.05$
$P[x_1(n) in L_1]>= 0.05$
$P[x_2(n) in L_2]>= 0.05$
$P[x_3(n) in L_3]>= 0.05$
Ora osserviamo che $x_0,x_1,x_2$ sono processi Gaussiani a media zero e varianza:
$sigma^2_i=E[(x_i(n))^2]=(b_i)^2*E[(u(n-i))^2]$ con $i=0,1,2$
per l'ipotesi di stazionarietà $E[(u(n-i))^2]=100$.
Il processo $x_3(n)$ è Gaussiano (è una combinazione lineare di processi Gaussiani) , con media nulla ( somma dei singoli valori attesi) e varianza data dalla somma delle varianze $(sigma_i)^2$ (per il fatto che il processo $u(n$) e bianco cioè incorrelato).
Se vuoi puoi varificare che:
$E[(x_3(n))^2]=sum_(i=0)^2 sigma^2_i$
A questo punto hai tutto per calcolare le gli intervalli richiesti.
Grazie mille! Adesso ho capito!
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