Il senso della varianza ?
Per quale motivo per misurare la variabilità delle osservazioni si usa la varianza per poi calcolare la sua radice (riottenendo così l'unità di misura orginaria delle osservazioni) ...QUando esistono i valori assoluti?
L'utilità della deviazione standard consiste nel calcolare la rischiosità di un qualcosa? Ma esistono indici simili?
Tipo..Ho pensato a questo
$1/n\sum_{k=1}^N (x_k - bar x)^(2q)$
Oppure a quest'altro
$1/n\sum_{k=1}^N |x_k - bar x|$
Entrambi gli indici misurano in un certo senso la variabilità delle osservazioni:
1) nel primo caso però l'unità di misura cambia...E per essere ricondotta allo stato originario va effettuata l'operazione elevando il risultato per $1/(2q)$. In poche parole ....Se io aumento $q$...Amplifico la misurazione dello scostamento delle osservazioni? Se prendessi in considerazione una distribuzione di probabilità...Amplificherei la misurazione e la precisione di un rischio?
2) la seconda formula si può utilizzare al posto della deviazione standard?
In poche parole...QUesti indici, potrebbero essere utilizzati, volendo, come sostituti ...Della varianza?
secondo dubbio...
SULL'UTILITA' DELLA DEVIAZIONE STANDARD...
esempio: se io ho un valore atteso di vincere 100 euro, ma ho una deviazione standard di 10 euro...Significa che in media, nell'evento che si verificherà, mi devo aspettare uno scostamento alla vincita di 10 euro? CIoè che potrei vincere (quasi con certezza) nell'intervallo tra le 90 e le 110 euro?
L'utilità della deviazione standard consiste nel calcolare la rischiosità di un qualcosa? Ma esistono indici simili?
Tipo..Ho pensato a questo
$1/n\sum_{k=1}^N (x_k - bar x)^(2q)$
Oppure a quest'altro
$1/n\sum_{k=1}^N |x_k - bar x|$
Entrambi gli indici misurano in un certo senso la variabilità delle osservazioni:
1) nel primo caso però l'unità di misura cambia...E per essere ricondotta allo stato originario va effettuata l'operazione elevando il risultato per $1/(2q)$. In poche parole ....Se io aumento $q$...Amplifico la misurazione dello scostamento delle osservazioni? Se prendessi in considerazione una distribuzione di probabilità...Amplificherei la misurazione e la precisione di un rischio?
2) la seconda formula si può utilizzare al posto della deviazione standard?
In poche parole...QUesti indici, potrebbero essere utilizzati, volendo, come sostituti ...Della varianza?
secondo dubbio...
SULL'UTILITA' DELLA DEVIAZIONE STANDARD...
esempio: se io ho un valore atteso di vincere 100 euro, ma ho una deviazione standard di 10 euro...Significa che in media, nell'evento che si verificherà, mi devo aspettare uno scostamento alla vincita di 10 euro? CIoè che potrei vincere (quasi con certezza) nell'intervallo tra le 90 e le 110 euro?
Risposte
ASPETTATE: FORSE INTUITIVAMENTE CI SONO ARRIVATO ...DITEMI SE HO RAGIONE O TORTO:
Si utilizza la deviazione standard perché $\mu + sigma$ e $\mu - sigma$ sono i punti di flesso di una distribuzione normale?
Tuttavia...Se la mia assunzione è giusta, è lecito dire che tutti i fenomeni seguano una distribuzione normale(tlc)?
Si utilizza la deviazione standard perché $\mu + sigma$ e $\mu - sigma$ sono i punti di flesso di una distribuzione normale?
Tuttavia...Se la mia assunzione è giusta, è lecito dire che tutti i fenomeni seguano una distribuzione normale(tlc)?
Si usa la varianza perchè, matematicamente, è molto più comodo trattare una funzione come $f(x) = x^2$ di cui è facile calcolare tutto, continua e derivabile in tutto il dominio, che $f(x) = |x|$.
E' una scelta, diciamo, di semplicità.
E' una scelta, diciamo, di semplicità.
a che serve la derivata di una varianza? la derivi rispetto a cosa? E' un modo per minimizzare i rischi?
seconda cosa: e la formula dell'esponente pari?
seconda cosa: e la formula dell'esponente pari?
Diciamo che gli indici più usati per l'analisi della variabilità sono quelli che si basano sugli scarti tra i valori osservati $ y_i $ e la media aritmetica $ \bar{y} $. Tuttavia, non si può considerare come indice di misura della variabilità la media degli scarti, perché per la prima proprietà della media aritmetica, la somma degli scarti dalla media è nulla, ossia
$ \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})n_i=0 $
Per cui, gli indici di variabilità che si utilizzano, si basano o sulla media degli scarti in valore assoluto o sulla media dei quadrati degli scarti. Il primo è espresso nella stessa unità di misura dei dati originari e ci dice di quanto, in media, le osservazioni $ y_i $ differiscono dalla media $ \bar{y} $. Tuttavia, il secondo, meglio conosciuto come varianza, è preferito al primo per due motivi:
1) è più pratica nel calcolo;
2) per la seconda proprietà della media aritmetica, la varianza è un minimo rispetto all'analogo indice ottenuto partendo da un valore $ w != \bar{y} $
Ora, poiché l'unità di misura della varianza è uguale al quadrato dell'unità di misura dei dati originari, si effettua la radice quadrata (trasformazione concava), ottenendo, così, lo scarto quadratico medio.
$ \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})n_i=0 $
Per cui, gli indici di variabilità che si utilizzano, si basano o sulla media degli scarti in valore assoluto o sulla media dei quadrati degli scarti. Il primo è espresso nella stessa unità di misura dei dati originari e ci dice di quanto, in media, le osservazioni $ y_i $ differiscono dalla media $ \bar{y} $. Tuttavia, il secondo, meglio conosciuto come varianza, è preferito al primo per due motivi:
1) è più pratica nel calcolo;
2) per la seconda proprietà della media aritmetica, la varianza è un minimo rispetto all'analogo indice ottenuto partendo da un valore $ w != \bar{y} $
Ora, poiché l'unità di misura della varianza è uguale al quadrato dell'unità di misura dei dati originari, si effettua la radice quadrata (trasformazione concava), ottenendo, così, lo scarto quadratico medio.
"Aliseo":
1) è più pratica nel calcolo;
2) per la seconda proprietà della media aritmetica, la varianza è un minimo rispetto all'analogo indice ottenuto partendo da un valore $ w != \bar{y} $
Ora, poiché l'unità di misura della varianza è uguale al quadrato dell'unità di misura dei dati originari, si effettua la radice quadrata (trasformazione concava), ottenendo, così, lo scarto quadratico medio.
Scusami...Non ho capito la seconda proprietà...La varianza è un minimo rispetto all'analogo indice ottenuto. TI stai riferendo a quello coi valori assoluti?
Se ti riferisci al fatto che la media è il valore , in generale, più vicino (in media) a tutte le osservazioni...Perché vale questa proprietà unicamente per la varianza?
In simboli, forse è più semplice la mia domanda:
perché deve essere :
$\sum_{k=1}^N (x_k - bar x)^2= min$ e non $\sum_{k=1}^N |x_k - bar x|= min$?
Poi certo se si parla di un discorso di comodità , sono d'accordo, perché gode anche della proprietà :
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ se non ricordo male...
Tuttavia se io devo scegliere un invervallo di vincita attesa, ritornando al discorso delle 100 euro con deviazione standard di 10 euro...Sarebbe diverso l'intervallo della mia vincita attesa, se invece di considerare la deviazione standard, considero l'indice costruito coi valori assoluti, o l'indice che potrei costruirmi elevando la generalizzazione della varianza per $1/(2q)$ (cioè la sua 2q-esima radice)!
la varianza è un minimo rispetto allo stesso indice di variabilità (media dei quadrati degli scarti) ottenuto partendo da un valore $ w != \bar{y} $, ossia
$ 1/n \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2n_i < 1/n \sum_{i=1}^n (y_i - w)^2n_i $
Questa avviene proprio per la seconda proprietà della media aritmetica, ossia: la somma dei quadrati degli scarti (ossia la devianza) è un minimo ... e questo lo dimostrabile facilmente ...
$ 1/n \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2n_i < 1/n \sum_{i=1}^n (y_i - w)^2n_i $
Questa avviene proprio per la seconda proprietà della media aritmetica, ossia: la somma dei quadrati degli scarti (ossia la devianza) è un minimo ... e questo lo dimostrabile facilmente ...
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