Help Probabilità
Salve ragazzi, volevo sottoporvi un esercizio di calcolo della probabilità apparentemente stupido (o forse anche realmente!!!) che non riesco proprio ad interpretare e risolvere:
In una lotteria i premi estratti sono uno ogni cinque biglietti venduti. Quanti biglietti e è necessario acquistare affinché la probabilità di vincere almeno un premio sia maggiore del 60%?
Grazie anticipatamente per l'aiuto che sicuramente vogliate fornirmi...
In una lotteria i premi estratti sono uno ogni cinque biglietti venduti. Quanti biglietti e è necessario acquistare affinché la probabilità di vincere almeno un premio sia maggiore del 60%?
Grazie anticipatamente per l'aiuto che sicuramente vogliate fornirmi...
Risposte
la probabilità che ha un biglietto di essere estratto è 1/5, la probabilità di non essere estratto è 4/5.
se abbiamo n biglietti, non è facile scrivere la probabilità che ne sia estratto almeno uno come somma di vari casi,
ma è più semplice attraverso l'evento contrario:
valutiamo la probabilità che nessuno degli n biglietti venga estratto, che non deve superare il 40%.
ma la probabilità che nessun biglietto venga estratto è $(4/5)^n$. imponiamo $(4/5)^n<=2/5$ e passiamo ai logaritmi:
$n log(4/5)<=log (2/5)$, considerando che i due logaritmi sono negativi:
$n>=(log(2/5))/(log(4/5))=4.106$. dunque il più piccolo n che soddisfa il problema è $n=5$
basta verificare che $P(4)=1-(4/5)^4=0.5904$, $P(5)=1-(4/5)^5=0.67232$.
spero di essere stata chiara. ciao.
se abbiamo n biglietti, non è facile scrivere la probabilità che ne sia estratto almeno uno come somma di vari casi,
ma è più semplice attraverso l'evento contrario:
valutiamo la probabilità che nessuno degli n biglietti venga estratto, che non deve superare il 40%.
ma la probabilità che nessun biglietto venga estratto è $(4/5)^n$. imponiamo $(4/5)^n<=2/5$ e passiamo ai logaritmi:
$n log(4/5)<=log (2/5)$, considerando che i due logaritmi sono negativi:
$n>=(log(2/5))/(log(4/5))=4.106$. dunque il più piccolo n che soddisfa il problema è $n=5$
basta verificare che $P(4)=1-(4/5)^4=0.5904$, $P(5)=1-(4/5)^5=0.67232$.
spero di essere stata chiara. ciao.
Ho seguito il ragionamento di ADA, ma c'e' qualcosa che non mi quadra. Chiedo, quindi, ad ADA di chiarire questo dubbio.
Da un calcolo fatto, mi esce che la probabilita' maggiore del 60% è funzione del numero di biglietti venduti.
Infatti se il numero dei biglietti venduti è 5, basta che ne acquisti 3 per ottenere già il 60% (considerato che il quesito parla di >60% dovrei prenderne 4)
Man mano che il numero dei biglietti aumenta, prendendo 4 biglietti la percentuale scende.
Con 65 biglietti, prendendo 4 biglietti, ottengo ancora una % maggiore del 60%. (60,01....)
Con 70 biglietti, siamo sotto il 60%, e pertanto dovrei (da questo momento in poi) prenderne 5. A questo punto le percentuali si stabilizzano ai valori calcolati da ADA.
Da un calcolo fatto, mi esce che la probabilita' maggiore del 60% è funzione del numero di biglietti venduti.
Infatti se il numero dei biglietti venduti è 5, basta che ne acquisti 3 per ottenere già il 60% (considerato che il quesito parla di >60% dovrei prenderne 4)
Man mano che il numero dei biglietti aumenta, prendendo 4 biglietti la percentuale scende.
Con 65 biglietti, prendendo 4 biglietti, ottengo ancora una % maggiore del 60%. (60,01....)
Con 70 biglietti, siamo sotto il 60%, e pertanto dovrei (da questo momento in poi) prenderne 5. A questo punto le percentuali si stabilizzano ai valori calcolati da ADA.
l'obiezione è interessante. se comunque i risultati si stabilizzano ai valori trovati, vuol dire che la risposta al problema è corretta, perché si chiede la "certezza" di una probabilità almeno del 60% senza conoscere il numero dei biglietti venduti.
la formula scritta da me non si è posta il problema di una lotteria piccola con 5 biglietti e un premio, però nemmeno di trovare un minimo valore a partire dal quale dovesse essere valida. ha considerato come dato la probabilità del singolo biglietto di essere estratto, e la probabilità dell'evento contrario. se acquisto tre biglietti, ciascuno di essi ha probabilità 1/5 di essere estratto e 4/5 di non essere estratto: moltiplicando le probabilità, le ho trattate come se fossero indipendenti, e non lo sono, anche se su "grandi numeri" può essere una buona approssimazione.
se chiamo $N$ il numero dei biglietti venduti e $n$ il numero dei biglietti acquistati da una persona,
deve risultare $(((N-n),(1/5N)))/(((N),(1/5N)))<=2/5$, cioè
$((4/5N)_n)/((N)_n) <=2/5$, dove con il simbolo $(m)_k$ intendo il "fattoriale decrescente" $m*(m-1)* ... *(m-k+1)$.
non sto a discutere se N è multiplo di 5 oppure no. può andare? come potrebbe essere semplificata la formula? come trovare $n$ ?
la formula scritta da me non si è posta il problema di una lotteria piccola con 5 biglietti e un premio, però nemmeno di trovare un minimo valore a partire dal quale dovesse essere valida. ha considerato come dato la probabilità del singolo biglietto di essere estratto, e la probabilità dell'evento contrario. se acquisto tre biglietti, ciascuno di essi ha probabilità 1/5 di essere estratto e 4/5 di non essere estratto: moltiplicando le probabilità, le ho trattate come se fossero indipendenti, e non lo sono, anche se su "grandi numeri" può essere una buona approssimazione.
se chiamo $N$ il numero dei biglietti venduti e $n$ il numero dei biglietti acquistati da una persona,
deve risultare $(((N-n),(1/5N)))/(((N),(1/5N)))<=2/5$, cioè
$((4/5N)_n)/((N)_n) <=2/5$, dove con il simbolo $(m)_k$ intendo il "fattoriale decrescente" $m*(m-1)* ... *(m-k+1)$.
non sto a discutere se N è multiplo di 5 oppure no. può andare? come potrebbe essere semplificata la formula? come trovare $n$ ?
Grazie mille per il vostro aiuto...
"adaBTTLS":
l'obiezione è interessante. se comunque i risultati si stabilizzano ai valori trovati, vuol dire che la risposta al problema è corretta, perché si chiede la "certezza" di una probabilità almeno del 60% senza conoscere il numero dei biglietti venduti.
Infatti la mia era una "osservazione".
Mi sono accorto che per un numero basso di biglietti ne bastavano 4, mentre per un numero alto ne servivano 5.
Da qui, la curiosità di trovare dove fosse lo "scalino" (65 --> 70).
infatti "obiezione" l'ho chiamata io, e l'ho trovata anche "interessante". ora chiedo un parere sull'ultima formula che non mi va di sviluppare ma che, con un foglio elettronico, dovrebbe dare la risposta cercata. ciao e grazie.
Scusa, leggo solo ora.
L'ho simulata, ma non mi ha dato un risultato sperato. Provata con N=10 e n= 4.
L'ho simulata, ma non mi ha dato un risultato sperato. Provata con N=10 e n= 4.
non ricordo più tanto la "disputa" e quindi non capisco quale dovesse essere il "risultato sperato", però con due numeri così piccoli la verifica si fa presto anche a mano, senza scomodare il foglio elettronico. il rapporto tra i due coefficienti binomiali dà 1/3 che è minore di 2/5. cioè con N=10 e n=4 la formula è verificata.
dunque intendi che le "aspettative" dovevano dare "formula non verificata"?
dunque intendi che le "aspettative" dovevano dare "formula non verificata"?
No.
Il problema è che non sono certo di aver capito la tua formula.
Il problema è che non sono certo di aver capito la tua formula.
non pensare alla "traduzione" mediante i fattoriali decrescenti, e riprendi quella dei coefficienti binomiali: se N=10 e n=4, hai N-n=6 e 1/5 N = 2, dunque:
$(((6),(2)))/(((10),(2)))=(6*5)/(10*9)=1/3=2/6<2/5$, cioè non N abbastanza piccolo, come secondo i tuoi calcoli precedenti, con l'acquisto di soli 4 biglietti si ha una probabilità di vittoria superiore al 60% ($1-2/5=3/5=60/100$), anche se sarebbe da verificare che il dato si stabilizza a n=5 all'aumentare di N.
è chiaro? ciao.
$(((6),(2)))/(((10),(2)))=(6*5)/(10*9)=1/3=2/6<2/5$, cioè non N abbastanza piccolo, come secondo i tuoi calcoli precedenti, con l'acquisto di soli 4 biglietti si ha una probabilità di vittoria superiore al 60% ($1-2/5=3/5=60/100$), anche se sarebbe da verificare che il dato si stabilizza a n=5 all'aumentare di N.
è chiaro? ciao.
pensavo che tu volessi (in qualche modo) calcolare n, in funzione di N.
io ho solo cercato una relazione che permettesse di trovare n al variare di N. ti chiedevo se la formula fosse coerente con i tuoi risultati (naturalmente mi riferisco a quelli di cui parlavi nei primi interventi). la formula può essere perfezionata (magari con l'uso di qualche "parte intera", perché deve essere utilizzata anche per N non multiplo di 5). io non ho mai detto che fornisce una semplice equazione nell'incognita n, anche se l'uso del foglio elettronico permetterebbe di visualizzare in un grafico triangolare tutti i valori in dipendenza di n ed N, per cui fornirebbe un n per ogni N (cosa che io ti ho già detto di non voler fare).
la prima formula che ho scritto, quella che non dipendeva da N, è stata interpretata come un'equazione (o meglio una disequazione) in n, quella che invece esprime con precisione le probabilità in funzione di N non può essere un'unica equazione, perché il grado varia in base ad N ed n. fissato N, nulla vieta di trovare n in funzione di N. buon divertimento!
la prima formula che ho scritto, quella che non dipendeva da N, è stata interpretata come un'equazione (o meglio una disequazione) in n, quella che invece esprime con precisione le probabilità in funzione di N non può essere un'unica equazione, perché il grado varia in base ad N ed n. fissato N, nulla vieta di trovare n in funzione di N. buon divertimento!
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