Help esercizio di statistica grazie
1) Conoscendo la probabilità di superare l’esame di statistica, la quale è pari al 0,73, calcolare su un campione di 5 studenti:
- che esattamente 3 superino l’esame
- che almeno 2 superino l’esame
- che nessuno superi l’esame
2) Il proprietario di una ditta afferma che il numero medio di suoi prodotti venduti giornalmente è di 1500 unità; un impiegato della ditta vuole verificare che non ci sia un calo nelle vendite; egli considera un campione casuale di 36 giorni e osserva che in media sono stati vendute giornalmente 1450 unità con uno scarto quadratico medio di 120 unità. Ad un livello σ = 0.01, si può concludere che il numero di vendite è calato?
- che esattamente 3 superino l’esame
- che almeno 2 superino l’esame
- che nessuno superi l’esame
2) Il proprietario di una ditta afferma che il numero medio di suoi prodotti venduti giornalmente è di 1500 unità; un impiegato della ditta vuole verificare che non ci sia un calo nelle vendite; egli considera un campione casuale di 36 giorni e osserva che in media sono stati vendute giornalmente 1450 unità con uno scarto quadratico medio di 120 unità. Ad un livello σ = 0.01, si può concludere che il numero di vendite è calato?
Risposte
Suggerimento: usare la distribuzione binomiale (bernoulliana) e la distribuzione normale (gaussiana).
Potresti farmi capire lo svolgimento, il mio livello non è dei migliori, poi il secondo esercizio non si sviluppa con la verifica delle ipotesi?
Primo esercizio: la probabilità che un evento $X$ (che ha probabilità di successo $p$) si verifichi esattamente $k$ volte in $n$ prove è data dalla binomiale:
$P(X=k)=((n),(k)) p^k * q^(n-k)$
dove $q$ è la probabilità di "insuccesso" ovvero $q=1-$. Nel tuo caso hai tutto: $p$ è dato, $n$ è 5, e
"che esattamente 3 superino l’esame": $k=3$
"che nessuno superi l’esame": $k=0$
ecc.
Secondo esercizio: certo, test di ipotesi a una coda assumendo una normale, con livello di significatività 1%. Il valore critico per 1% è $2,33$ (lo prendi dalle tabelle), la tua media è 1450 prodotti con d.s. 120, l'ipotesi è che la media sia minore di 1500.
Prova a completare.
$P(X=k)=((n),(k)) p^k * q^(n-k)$
dove $q$ è la probabilità di "insuccesso" ovvero $q=1-$. Nel tuo caso hai tutto: $p$ è dato, $n$ è 5, e
"che esattamente 3 superino l’esame": $k=3$
"che nessuno superi l’esame": $k=0$
ecc.
Secondo esercizio: certo, test di ipotesi a una coda assumendo una normale, con livello di significatività 1%. Il valore critico per 1% è $2,33$ (lo prendi dalle tabelle), la tua media è 1450 prodotti con d.s. 120, l'ipotesi è che la media sia minore di 1500.
Prova a completare.
Per quanto riguarda il secondo se assumi che le vendite giornaliere siano normali e non conosci la varianza
devi utilizzare la $t$ di Student.
Dovresti vedere se la varianza che ti hanno dato è quella della popolazione o quella del campione;
e se è quella del campione vedere se è quella corretta
devi utilizzare la $t$ di Student.
Dovresti vedere se la varianza che ti hanno dato è quella della popolazione o quella del campione;
e se è quella del campione vedere se è quella corretta
Si verifica 0,73 non si verifica 0,27
P (X=3) = Faccio 0,73*0,73*0,73*0,27*0,27*10 le probabilità = 0,283% esattamente 3
P (X=0) = Faccio 0,27*0,27*0,27*0,27*0,27*? (nel caso K è zero la probabilità quant'è)probabilità = nessuno supera esame
P almeno 2 ??
P (X=3) = Faccio 0,73*0,73*0,73*0,27*0,27*10 le probabilità = 0,283% esattamente 3
P (X=0) = Faccio 0,27*0,27*0,27*0,27*0,27*? (nel caso K è zero la probabilità quant'è)probabilità = nessuno supera esame
P almeno 2 ??
nel tuo caso "almeno 2 persone passano l'esame" equivale a "passano l'esame 2, 3, 4 o 5 persone"
@bracco_00:
Quel '?' significa che non sai cosa mettere nel termine del coefficiente binomiale..? Strano, comunque metti '1': ti ricordo la formula del coefficiente, è facilissima:
$((n),(k))=(n!)/((n-k)!*k!)$
ora, se assumi (come deve essere) $(0!)=1$ ...
@itpareid:
O ancora meglio, cioè per calcolare meno, equivale a "uno meno la p. che non lo passi nessuno, meno la p. che lo passi uno solo"
$P(X>=2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$
@DajeForte:
La varianza è del campione, ma perché usare Student? Mi sembra un CCS (complicazione cose semplici), forse per via del campione di 36 dati? Non mi sembra male, come numero, per poter usare la varianza data come stima di quella della popolazione.
Quel '?' significa che non sai cosa mettere nel termine del coefficiente binomiale..? Strano, comunque metti '1': ti ricordo la formula del coefficiente, è facilissima:
$((n),(k))=(n!)/((n-k)!*k!)$
ora, se assumi (come deve essere) $(0!)=1$ ...
@itpareid:
O ancora meglio, cioè per calcolare meno, equivale a "uno meno la p. che non lo passi nessuno, meno la p. che lo passi uno solo"
$P(X>=2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$
@DajeForte:
La varianza è del campione, ma perché usare Student? Mi sembra un CCS (complicazione cose semplici), forse per via del campione di 36 dati? Non mi sembra male, come numero, per poter usare la varianza data come stima di quella della popolazione.
sì giusto anche perche $P(X=0)$ è già calcolato in un altro punto dell'esercizio
@bracco_00:
Lascia stare i PM per queste cose. Le persone che frequentano questo forum cercano di spiegare (quando hanno capito qualcosa) e di imparare (quando non capiscono), non banalmente di risolvere esercizi.
Quindi, ri-posta pure qui la soluzione che mi hai mandato, che direi ci siamo
Lascia stare i PM per queste cose. Le persone che frequentano questo forum cercano di spiegare (quando hanno capito qualcosa) e di imparare (quando non capiscono), non banalmente di risolvere esercizi.
Quindi, ri-posta pure qui la soluzione che mi hai mandato, che direi ci siamo
P (X=3) =(5 3) probabilità 10 Faccio 0,73*0,73*0,73*0,27*0,27*10 le probabilità = 0,283% esattamente 3
P (X=0) =(5 0) probabilità 5 Faccio 0,27*0,27*0,27*0,27*0,27*= 0,00143*5 nessuno supera esame
P almeno 2 P (X>=2) = 1 - P(X<2) = 1 - [P(X=0)+P(X=1)]=
P (X=0) =(5 0) probabilità 5 Faccio 0,27*0,27*0,27*0,27*0,27*= 0,00143*5 nessuno supera esame
P almeno 2 P (X>=2) = 1 - P(X<2) = 1 - [P(X=0)+P(X=1)]=
Attento a calcolare: quel '5' per il quale moltiplichi, di dove ti viene fuori? Sicuro ci vada messo?
P (X=3) =(5 3) probabilità 10 Faccio 0,73*0,73*0,73*0,27*0,27*10 le probabilità = 0,283% esattamente 3
P (X=0) =(5 0) probabilità 1 Faccio 0,27*0,27*0,27*0,27*0,27= 0,00143 nessuno supera esame
P (X=1) =(5 1) probabilità 5 Faccio 0.73*0,27*0,27*0,27*0,27= 0,0038*5 = 0,019
P almeno 2 P (X>=2) = 1 - P(X<2) = 1 - [P(X=0)+P(X=1)]= 1-(0,00143+0,019)
X=3 viene 5*4*3*2*1/3*2*1*2*1 e per x=0 facevo la stessa cosa 5*4*3*2*1/5*4*3*2*1 quindi 1 è vero
Quindi è così?
P (X=0) =(5 0) probabilità 1 Faccio 0,27*0,27*0,27*0,27*0,27= 0,00143 nessuno supera esame
P (X=1) =(5 1) probabilità 5 Faccio 0.73*0,27*0,27*0,27*0,27= 0,0038*5 = 0,019
P almeno 2 P (X>=2) = 1 - P(X<2) = 1 - [P(X=0)+P(X=1)]= 1-(0,00143+0,019)
X=3 viene 5*4*3*2*1/3*2*1*2*1 e per x=0 facevo la stessa cosa 5*4*3*2*1/5*4*3*2*1 quindi 1 è vero
Quindi è così?
per il secondo invece va bene così
Ho: media; = 1500
H1: media; < 1500
test con la distribuzione normale
Standardizziamo:
z = (m - media)/[s/radice quadrata di n] = (1450 - 1500) / (120/radice di 36) = - 2,5
Per il test unilaterale sinistro il valore critico all'1% è -2,33.
Il valore calcolato cade comunque nella zona critica, per cui dobbiamo rifiutare l'ipotesi nulla, confermando che c'è stato un calo nelle vendite.
Ho: media; = 1500
H1: media; < 1500
test con la distribuzione normale
Standardizziamo:
z = (m - media)/[s/radice quadrata di n] = (1450 - 1500) / (120/radice di 36) = - 2,5
Per il test unilaterale sinistro il valore critico all'1% è -2,33.
Il valore calcolato cade comunque nella zona critica, per cui dobbiamo rifiutare l'ipotesi nulla, confermando che c'è stato un calo nelle vendite.
Secondo me ci siamo, almeno per quanto riguarda le mie misere conoscenze della materia. Certo, mi rimane il dubbio che mi ha instillato DajeForte in merito alla distribuzione t... me lo rivedrò con calma, magari fallo anche tu.
@Rggb
Ciao Rggb provo a spigarti quello che dicevo:
Consideriamo un campione $(X_1,...,X_n)$ con le variabili $X_i$ i.i.d. in i e distribuite come normali di media $\mu$ e varianza $\sigma^2$.
Vogliamo fare inferenza sulla media $\mu$ (ovviamente incognita).
Partiamo dallo stimatore della media (media campionaria) così definito $\hat mu \quad = \quad 1/n sum_(i=1)^n X_i$;
$\hat mu \sim N(\mu, (\sigma^2)/n)$ e ovviamente $(\hat mu - \mu)/(\sigma)sqrt(n) \sim N(0,1)$.
A questo punto dobbiamo distingure due casi: nel primo consideriamo $\sigma^2$ noto; nel secondo incognito.
Se la varianza è nota, l'unico parametro incognito è $mu$ e facciamo intervalli di confidenza o test ipotesi a partire dalla normale standard definita sopra.
Ad esempio per un intervallo di confidenza bilaterale a livello di significatività $\alpha$ abbiamo che
$1-\alpha=P(-z_(1-\alpha/2) \quad < (\hat mu - \mu)/(\sigma)sqrt(n) \quad < z_(1-\alpha/2))= P(\hat mu - z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n) \quad < \quad mu \quad < \quad \hat mu + z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n))$.
ed hai quindi l'intervallo $[\hat mu - z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n) \quad ; \quad \hat mu + z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n)]$.
Ora l'unica cosa aleatoria in questo caso è $\hat mu$ (che è random; non $mu$ che in questo contesto è un parametro); estrai il campione e realizzi l'inervallo di confidenza.
Se invece $sigma$ è incognito hai un altro elemento che non conosci;
in questo caso lo stimi tramite la varianza campionaria corretta così definita:
$S_n^2 \quad = \quad 1/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i- \hat mu)^2$.
Così facendo hai che $(\hat mu - mu)/(S_n)sqrt(n) \sim t_(n-1)$ è una t di studente con n-1 gradi di libertà.
A questo punto l'intervallo dovrai costruirlo non più sulla normale ma sulla t ed avrai
$[\hat mu - t_(1-\alpha/2) \quad S/sqrt(n) \quad ; \quad \hat mu + t_(1-\alpha/2) \quad S/sqrt(n)]$.
La t di studente è una variabile simmetrica (come la normale) ma ha le code un po' più pesanti proprio per rispondere al fatto che non conosci la varianza ma la devi "ottenere" dal campione. Quando $n$ è grande le due distribuzioni si avvicinano; diciamon che una prima soglia è intorno al 25/30 però visto che non costa niente mi pare più corretto seguire i risultati di calcolo ed utilizzare la t; per $n>100$ i risultati sono pressoche gli stessi.
Ciao.
Ciao Rggb provo a spigarti quello che dicevo:
Consideriamo un campione $(X_1,...,X_n)$ con le variabili $X_i$ i.i.d. in i e distribuite come normali di media $\mu$ e varianza $\sigma^2$.
Vogliamo fare inferenza sulla media $\mu$ (ovviamente incognita).
Partiamo dallo stimatore della media (media campionaria) così definito $\hat mu \quad = \quad 1/n sum_(i=1)^n X_i$;
$\hat mu \sim N(\mu, (\sigma^2)/n)$ e ovviamente $(\hat mu - \mu)/(\sigma)sqrt(n) \sim N(0,1)$.
A questo punto dobbiamo distingure due casi: nel primo consideriamo $\sigma^2$ noto; nel secondo incognito.
Se la varianza è nota, l'unico parametro incognito è $mu$ e facciamo intervalli di confidenza o test ipotesi a partire dalla normale standard definita sopra.
Ad esempio per un intervallo di confidenza bilaterale a livello di significatività $\alpha$ abbiamo che
$1-\alpha=P(-z_(1-\alpha/2) \quad < (\hat mu - \mu)/(\sigma)sqrt(n) \quad < z_(1-\alpha/2))= P(\hat mu - z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n) \quad < \quad mu \quad < \quad \hat mu + z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n))$.
ed hai quindi l'intervallo $[\hat mu - z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n) \quad ; \quad \hat mu + z_(1-\alpha/2) \quad \sigma/sqrt(n)]$.
Ora l'unica cosa aleatoria in questo caso è $\hat mu$ (che è random; non $mu$ che in questo contesto è un parametro); estrai il campione e realizzi l'inervallo di confidenza.
Se invece $sigma$ è incognito hai un altro elemento che non conosci;
in questo caso lo stimi tramite la varianza campionaria corretta così definita:
$S_n^2 \quad = \quad 1/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i- \hat mu)^2$.
Così facendo hai che $(\hat mu - mu)/(S_n)sqrt(n) \sim t_(n-1)$ è una t di studente con n-1 gradi di libertà.
A questo punto l'intervallo dovrai costruirlo non più sulla normale ma sulla t ed avrai
$[\hat mu - t_(1-\alpha/2) \quad S/sqrt(n) \quad ; \quad \hat mu + t_(1-\alpha/2) \quad S/sqrt(n)]$.
La t di studente è una variabile simmetrica (come la normale) ma ha le code un po' più pesanti proprio per rispondere al fatto che non conosci la varianza ma la devi "ottenere" dal campione. Quando $n$ è grande le due distribuzioni si avvicinano; diciamon che una prima soglia è intorno al 25/30 però visto che non costa niente mi pare più corretto seguire i risultati di calcolo ed utilizzare la t; per $n>100$ i risultati sono pressoche gli stessi.
Ciao.
Mi torna tutto, ovviamente, però
appunto: io ero rimasto ai miei vecchi testi pieni di polvere, per $n>30$ si calcola direttamente. Però devo dire ho trovato un sacco di esercizi a giro che la ricalcolano anche per campioni sotto 100. Vabbè, del resto sto rispolverando la materia per un esame, c'è da imparare.
Complimenti per l'esposizione
@bracco_00
Tranquillo... la tua soluzione va bene così
"DajeForte":
La t di studente è una variabile simmetrica (come la normale) ma ha le code un po' più pesanti proprio per rispondere al fatto che non conosci la varianza ma la devi "ottenere" dal campione. Quando $n$ è grande le due distribuzioni si avvicinano; diciamon che una prima soglia è intorno al 25/30 però visto che non costa niente mi pare più corretto seguire i risultati di calcolo ed utilizzare la t; per $n>100$ i risultati sono pressoche gli stessi.
appunto: io ero rimasto ai miei vecchi testi pieni di polvere, per $n>30$ si calcola direttamente. Però devo dire ho trovato un sacco di esercizi a giro che la ricalcolano anche per campioni sotto 100. Vabbè, del resto sto rispolverando la materia per un esame, c'è da imparare.
Complimenti per l'esposizione
@bracco_00
Tranquillo... la tua soluzione va bene così
ok grazie mi stavo già preoccupando.... 
Cmq nel mio caso si sapeva che era un campione con deviazione standard e media
Cmq nel mio caso si sapeva che era un campione con deviazione standard e media
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