\(H_0 \) vs \(H_1\)
Sia \( X_1 , \ldots, X_n \) un campione iid ottenuto da una legge con densità
\[ f(x) = \frac{ \sqrt{\phi}}{\sqrt{2 \pi x^3}} \exp \{ \frac{- \phi}{2} \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) \} \]
se \(x > 0 \) e \( f(x) =0 \) altrimenti.
Costruire la statistica di test del test di rapporto di verosimiglianza con soglia \( \alpha \in (0,1) \) per testare \( H_0 : \phi = 1 \) vs \( H_1 : \phi \neq 1 \).
Allora definito
\[ \Lambda(X_1,\ldots,X_n) = \frac{ \sup_{\theta \in \Theta_1} L(\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0} L(\theta)} \]
dove \( H_0 : \theta \in \Theta_0 \) e \( H_1 : \theta \in \Theta_1 \) sono le due ipotesi. Allora il test di rapporto di verosimiglianza è dato come il test la cui funzione di test è
\[ \delta(X_1,\ldots,X_n) = \mathbf{1}_{\Lambda(X_1,\ldots,X_n) > Q} \]
dove
\[ \mathbb{P}_{\theta}(\Lambda(X_1,\ldots,X_n) > Q) = \alpha \] se esiste.
Qui viene il "problema" ? È che non riesco mai a capire troppo come riscrivere la funzione \(f(x) \). Cioé è una famiglia esponenziale ma quale delle tre "possibilità" sceliere?
\[ f(x,\phi) = \exp\left( \eta(\phi) T(x) - \gamma(\phi) + S(x) \right) \]
posso scegliere sia
Opzione 1)
\[ \eta(\phi) = \phi \]
\[ T(x) = -\frac{1}{2}(x-2+\frac{1}{x} ) \]
\[ \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi \]
\[ S(x) = - \frac{1}{2} \log 2 \pi x^3 \]
Opzione 2)
\[ \eta(\phi) = -\frac{\phi}{2} \]
\[ T(x) = (x-2+\frac{1}{x} ) \]
\[ \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi \]
\[ S(x) = - \frac{1}{2} \log 2 \pi x^3 \]
Opzione 3)
\[ \eta(\phi) = \phi \]
\[ T(x) = - \frac{1}{2}(x+\frac{1}{x} ) \]
\[ \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi + \phi \]
\[ S(x) = - \frac{1}{2} \log 2 \pi x^3 \]
perché in base a quale scelta faccio poi mi cambia la funzione di test, poiché
\[ \Lambda(X_1,\ldots,X_n) = (\eta(\widehat{\phi}) - \eta(1) ) \tau(X_1,\ldots,X_n) - n \gamma(\widehat{\phi}) + n \gamma(1) \]
dove \( \widehat{\phi} \) è il massimo di verosimiglianza e \[ \tau(X_1,\ldots,X_n) = \sum_{i=1}^{n} T(X_i) \]
\[ f(x) = \frac{ \sqrt{\phi}}{\sqrt{2 \pi x^3}} \exp \{ \frac{- \phi}{2} \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) \} \]
se \(x > 0 \) e \( f(x) =0 \) altrimenti.
Costruire la statistica di test del test di rapporto di verosimiglianza con soglia \( \alpha \in (0,1) \) per testare \( H_0 : \phi = 1 \) vs \( H_1 : \phi \neq 1 \).
Allora definito
\[ \Lambda(X_1,\ldots,X_n) = \frac{ \sup_{\theta \in \Theta_1} L(\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0} L(\theta)} \]
dove \( H_0 : \theta \in \Theta_0 \) e \( H_1 : \theta \in \Theta_1 \) sono le due ipotesi. Allora il test di rapporto di verosimiglianza è dato come il test la cui funzione di test è
\[ \delta(X_1,\ldots,X_n) = \mathbf{1}_{\Lambda(X_1,\ldots,X_n) > Q} \]
dove
\[ \mathbb{P}_{\theta}(\Lambda(X_1,\ldots,X_n) > Q) = \alpha \] se esiste.
Qui viene il "problema" ? È che non riesco mai a capire troppo come riscrivere la funzione \(f(x) \). Cioé è una famiglia esponenziale ma quale delle tre "possibilità" sceliere?
\[ f(x,\phi) = \exp\left( \eta(\phi) T(x) - \gamma(\phi) + S(x) \right) \]
posso scegliere sia
Opzione 1)
\[ \eta(\phi) = \phi \]
\[ T(x) = -\frac{1}{2}(x-2+\frac{1}{x} ) \]
\[ \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi \]
\[ S(x) = - \frac{1}{2} \log 2 \pi x^3 \]
Opzione 2)
\[ \eta(\phi) = -\frac{\phi}{2} \]
\[ T(x) = (x-2+\frac{1}{x} ) \]
\[ \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi \]
\[ S(x) = - \frac{1}{2} \log 2 \pi x^3 \]
Opzione 3)
\[ \eta(\phi) = \phi \]
\[ T(x) = - \frac{1}{2}(x+\frac{1}{x} ) \]
\[ \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi + \phi \]
\[ S(x) = - \frac{1}{2} \log 2 \pi x^3 \]
perché in base a quale scelta faccio poi mi cambia la funzione di test, poiché
\[ \Lambda(X_1,\ldots,X_n) = (\eta(\widehat{\phi}) - \eta(1) ) \tau(X_1,\ldots,X_n) - n \gamma(\widehat{\phi}) + n \gamma(1) \]
dove \( \widehat{\phi} \) è il massimo di verosimiglianza e \[ \tau(X_1,\ldots,X_n) = \sum_{i=1}^{n} T(X_i) \]
Risposte
Prima di tutto osserva che con quel tipo di ipotesi (bilatera) non esiste un UMP quindi devi usare il LRT generalizzato.
A numeratore avrai $theta in Theta_0$ mentre a denominatore avrai $theta in Theta$. Il sup del denominatore è la funzione nel punto MLE che conosci dato che la distribuzione è nota...il sup del numeratore è in $phi=1$....
A numeratore avrai $theta in Theta_0$ mentre a denominatore avrai $theta in Theta$. Il sup del denominatore è la funzione nel punto MLE che conosci dato che la distribuzione è nota...il sup del numeratore è in $phi=1$....
"tommik":
Prima di tutto osserva che con quel tipo di ipotesi (bilatera) non esiste un UMP quindi devi usare il LRT generalizzato.
A numeratore avrai $theta in Theta_0$ mentre a denominatore avrai $theta in Theta$. Il sup del denominatore è la funzione nel punto MLE che conosci dato che la distribuzione è nota...il sup del numeratore è in $phi=1$....
Si, la mia domanda era un altra, siccome posso scrivere \(f\) in modi diversi, come posso essere certo di prendere il test LRT giusto?
Perché
\[ \widehat{\phi} \]
è soluzione rispetto a \(u\) di
\[ \gamma'(u) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} T(X_i ) \]
quindi se scelgo ad esempio, \( \eta(\phi)=\phi \), \( \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi \) e \( T (x) = -\frac{1}{2}(x-2+1/x) \) ottengo che
\[ -\frac{1}{2\widehat{\phi}} = \frac{\tau}{n} \]
da cui
\[ \widehat{\phi} = - \frac{n}{2 \tau} \]
e quindi
\[ \Lambda = \exp \left( \frac{n}{2} \log \left( - \frac{n}{2\tau} \right) - \frac{n}{2} - \tau \right) \]
con
\[ \tau = \sum_{i=1}^{n} T(X_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i-1)^2}{-2X_i} \]
mentre se scelgo invece ad esempio
quindi se scelgo ad esempio, \( \eta(\phi)= \phi \), \( \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi + \phi \) e \( T (x) = -\frac{1}{2}(x+1/x) \) ottengo che
\[ -\frac{1}{2\widehat{\phi}} +1 = \frac{\tau}{n} \]
da cui
\[ \widehat{\phi} = - \frac{n}{2 \tau - 2n} \]
e quindi
\[ \Lambda = \exp \left( -\frac{n\tau}{2\tau-2n} - \tau + n \log \left( \frac{-n}{2\tau-2n} \right) - \frac{n}{2\tau-2n} + n \right) \]
con
\[ \tau = \sum_{i=1}^{n} T(X_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{-(x+1/x)}{2}\]
e sono diversi... quale scegliere?
\[ \widehat{\phi} \]
è soluzione rispetto a \(u\) di
\[ \gamma'(u) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} T(X_i ) \]
quindi se scelgo ad esempio, \( \eta(\phi)=\phi \), \( \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi \) e \( T (x) = -\frac{1}{2}(x-2+1/x) \) ottengo che
\[ -\frac{1}{2\widehat{\phi}} = \frac{\tau}{n} \]
da cui
\[ \widehat{\phi} = - \frac{n}{2 \tau} \]
e quindi
\[ \Lambda = \exp \left( \frac{n}{2} \log \left( - \frac{n}{2\tau} \right) - \frac{n}{2} - \tau \right) \]
con
\[ \tau = \sum_{i=1}^{n} T(X_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i-1)^2}{-2X_i} \]
mentre se scelgo invece ad esempio
quindi se scelgo ad esempio, \( \eta(\phi)= \phi \), \( \gamma(\phi) = - \frac{1}{2} \log \phi + \phi \) e \( T (x) = -\frac{1}{2}(x+1/x) \) ottengo che
\[ -\frac{1}{2\widehat{\phi}} +1 = \frac{\tau}{n} \]
da cui
\[ \widehat{\phi} = - \frac{n}{2 \tau - 2n} \]
e quindi
\[ \Lambda = \exp \left( -\frac{n\tau}{2\tau-2n} - \tau + n \log \left( \frac{-n}{2\tau-2n} \right) - \frac{n}{2\tau-2n} + n \right) \]
con
\[ \tau = \sum_{i=1}^{n} T(X_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{-(x+1/x)}{2}\]
e sono diversi... quale scegliere?
Mah... a me pare che la mia risposta fosse perfettamente in linea con quanto richiesto....ad ogni modo
1) prima di risolvere il problema uno si dovrebbe chiedere che distribuzione è quella in oggetto: è una Gaussiana inversa, detta anche distribuzione di Wald.
Quindi immediatamente puoi rispondere: opzione 2). Ovviamente l'opzione 1) è pure corretta dato che dalla fattorizzazione della L esce che T è stimatore sufficiente per $phi$ e quindi anche $T/2$ lo è, essendo funzione monotona di T
2) Per risolvere prima di tutto calcoli lo stimatore di max verosimiglianza (come vedi ho cassato dalla likelihood qualunque elemento non dipendente da $phi$) ed ottieni subito
$hat(phi)=n/T$
3) ed inoltre ricordi che
e quindi, sotto $H_0$ ottieni che
$a
è un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$. Se la statistica campionaria è dentro l'intervallo accetti $H_0$ se invece è al di fuori allora la rifiuti
PS : dato che nel tuo caso la media è nota immagino che i gdl aumentino di 1... dovrei controllare ma puoi farlo anche tu
1) prima di risolvere il problema uno si dovrebbe chiedere che distribuzione è quella in oggetto: è una Gaussiana inversa, detta anche distribuzione di Wald.
$L prop phi^(n/2)Exp{-phi/2 sum_x(x-1)^2/x}=phi^(n/2)Exp{-phi/2 T}$
Quindi immediatamente puoi rispondere: opzione 2). Ovviamente l'opzione 1) è pure corretta dato che dalla fattorizzazione della L esce che T è stimatore sufficiente per $phi$ e quindi anche $T/2$ lo è, essendo funzione monotona di T
2) Per risolvere prima di tutto calcoli lo stimatore di max verosimiglianza (come vedi ho cassato dalla likelihood qualunque elemento non dipendente da $phi$) ed ottieni subito
$hat(phi)=n/T$
3) ed inoltre ricordi che
$n phi/hat(phi)~ chi_{(n-1)}^2$
e quindi, sotto $H_0$ ottieni che
$a
è un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$. Se la statistica campionaria è dentro l'intervallo accetti $H_0$ se invece è al di fuori allora la rifiuti
PS : dato che nel tuo caso la media è nota immagino che i gdl aumentino di 1... dovrei controllare ma puoi farlo anche tu
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