Grandi numeri ed equilibrio
Sto scrivendo un articolo sui sistemi per la roulette e mi sono trovato davanti due tesi contrapposte che mi sembrano entrambe veritiere.
Sia una partita un numero n di colpi alla roulette.
Supponiamo che l'equilibrio si verifichi quando in una partita il numero delle volte che è uscito rosso è uguale al numero di neri.
La legge dei grandi numeri ci dice che per n che tende ad infinito si raggiunge l'equilibrio.
Invece se nella pratica facciamo 2 colpi l'equilibrio si avrà con una probabilità del 50%, se faccio 4 colpi questa probabilità scende e così via per induzione. Cioè per n che tende ad infinito la probabilità di raggiungere l'equilibrio è prossima allo zero.
Dov'è che sbaglio?
Sia una partita un numero n di colpi alla roulette.
Supponiamo che l'equilibrio si verifichi quando in una partita il numero delle volte che è uscito rosso è uguale al numero di neri.
La legge dei grandi numeri ci dice che per n che tende ad infinito si raggiunge l'equilibrio.
Invece se nella pratica facciamo 2 colpi l'equilibrio si avrà con una probabilità del 50%, se faccio 4 colpi questa probabilità scende e così via per induzione. Cioè per n che tende ad infinito la probabilità di raggiungere l'equilibrio è prossima allo zero.
Dov'è che sbaglio?
Risposte
Ciao.
Non ci credevo neanch'io, però in effetti scende.
Lasciamo stare la roulette perchè c'è lo zero che "disturba".
Pensiamo al lancio di una moneta.
La probabilità che con 2 lanci Testa e croce siano in perfetta parità è 2/4 ovvero 50%
Con 4 lanci è 6/16 ovvero 37,5%
Con 6 lanci è 20/64 ovvero 31,25%
Con 8 lanci è 70/256 ovvero 27,34375%.
Provare per credere.
Non ci credevo neanch'io, però in effetti scende.
Lasciamo stare la roulette perchè c'è lo zero che "disturba".
Pensiamo al lancio di una moneta.
La probabilità che con 2 lanci Testa e croce siano in perfetta parità è 2/4 ovvero 50%
Con 4 lanci è 6/16 ovvero 37,5%
Con 6 lanci è 20/64 ovvero 31,25%
Con 8 lanci è 70/256 ovvero 27,34375%.
Provare per credere.
"misterx":
La legge dei grandi numeri ci dice che per n che tende ad infinito si raggiunge l'equilibrio.
Ehm, non è propriamente così. La legge ti dice che, per $n$ numero di prove che tende all'infinito, la probabilità che il numero di volte che è uscito rosso differisca in valore assoluto dalla probabilità del singolo evento "esce rosso" di un qualunque numero $epsilon$ positivo a piacere (cd. "piccolo quanto vuoi"), tende a zero.
L'altro fatto è ininfluente. Anche perché - nota bene - pur se la probabilità "scende" come tu dici, ovvero diminuisce al crescere del numero $n$ delle prove, non è mai zero.
Anzi già che ci siamo, chi se la sente di calcolare quanto vale al limite?EDIT: effettivamente, il calcolo al limite tende a zero, almeno mi sembra: chi se la sente può verificare quanto vale
$lim_{n->infty) (((n),(n/2)))/2^n$
Ah ce la caviamo così? 
Magari avrò formulato in maniera grossolana la legge dei grandi numeri, ma credo che il concetto che ho scritto non si discosti molto dalla realtà. Sto scrivendo per appassionati di roulette e non esperti matematici, quindi non posso parlare di valore assoluto o limiti. Come parole posso usare solo equilibrio.
Poi se mi spieghi perchè la diminuizione di probabilità è ininfluente te ne sarei grato, a me sembra tutto meno che ininfluente, anzi mi sembra che sconfessi la legge dei grandi numeri.
Magari avrò formulato in maniera grossolana la legge dei grandi numeri, ma credo che il concetto che ho scritto non si discosti molto dalla realtà. Sto scrivendo per appassionati di roulette e non esperti matematici, quindi non posso parlare di valore assoluto o limiti. Come parole posso usare solo equilibrio.
Poi se mi spieghi perchè la diminuizione di probabilità è ininfluente te ne sarei grato, a me sembra tutto meno che ininfluente, anzi mi sembra che sconfessi la legge dei grandi numeri.
"misterx":
Ah ce la caviamo così?
Mica è una banalità (v. sotto).
"misterx":
... mi sembra che sconfessi la legge dei grandi numeri.
Per niente. Visto che devi togliere un po' di formalismo matematico, faccio un discorso ad esempi.
Prova per esempio con $n=6$ semplificando il caso (lancio di moneta, come dice superpippone): anche se hai 20 possibilità su 64 (~ 32%) che tu abbia esattamente 3 teste e 3 croci, prova a vedere quante sono quelle "quasi uguali" con 2 teste e 4 croci e quelle con 4 teste e 2 croci... e per $n=8$ conta anche quelle con 3/5 teste/croci.
Ovvero: via via che aumenta $n$, la probabilità che il numero di teste (risp. croci) si discosti dal valore $n/2$ per un certo valore, preso piccolo a piacere, tende a zero. Questo dice la legge dei grandi numeri.
Grazie credo di aver compreso.
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