Gioco equo su $n$ prove ripetute

[mobley]

Non ho la soluzione dell'esercizio (traccia d'esame) quindi vi chiederei un parere sulla correttezza (in particolare sull'ammissibilità di certi passaggi).

Un dado equilibrato viene lanciato $900$ volte. I lanci sono mutuamente indipendenti. Sia $X$ il numero aleatorio di volte in cui compare il numero 6.
$a)$ Trova la media della v.a. $X$.
$b)$ Calcola $\mathbb(P)(X>=180)$.
$c)$ Supponiamo che si vinca un euro ogni volta che il dado fornisca il valore 6 e si perdano $50$ centesimi in caso contrario. Qual'è il prezzo equo per partecipare a tale gioco, ovvero all'insieme dei $900$ lanci?

$a)$ $\mathbb(E)[X]=?$

$->n=900rArr \mathbb(P)(X=i)=( (900), (i) )(1/6)^i(5/6)^(900-i) rArr X~$Bin$ (900,1/6) rArr \mathbb(E)[X]:=np=150$

$b)$ $\mathbb(P)(X>=180)=?$

$->n>30rArrX~N(150,125) rArr \mathbb(P)(X>=180)=1-\mathbb(P)(Z<=2,68)=0,00368$

$c)$ Qui i dubbi. Ovviamente se il dado venisse lanciato una volta sola il prezzo equo sarebbe

$1€\cdot 1/6-0,5ç\cdot 5/6=-0,25<0 rArr P=0,2ç$

Io ho pensato di scrivere così:

$1€ \sum_(k=0)^(i)( (900), (k) )(1/6)^k(5/6)^(n-k)-0,5ç( (900), (k) )(5/6)^k(1/6)^(n-k)$

$=(5/6)^n\sum_(k=0)^i( (900), (k) )(1/5)^k-0,5(1/6)^n\sum_(k=i+1)^n( (900), (k) )5^k$

$=[(5/6)^n-0,5(1/6)^n]\sum_(k=0)^n( (900), (i) )[(1/5)^k\cdot5^k]=...$

Anzitutto non sono certo della liceità dell'ultima uguaglianza perchè anche applicando la proprietà di scomposizione della sommatoria $\sum_(k=0)^(m_1+m_2)f(x)=\sum_(k=0)^(m_1)f(x)+\sum_(k=m_1+1)^(m_2)f(x)$ temo di non poter raccogliere in quel modo… Poi non sono proprio sicuro dell'impostazione onestamente.

[ghira1]

"mobley":
$a)$ Trova la media della v.a. $X$.
$b)$ Calcola $\mathbb(P)(X>=180)$.
$c)$ Supponiamo che si vinca un euro ogni volta che il dado fornisca il valore 6 e si perdano $50$ centesimi in caso contrario. Qual'è il prezzo equo per partecipare a tale gioco, ovvero all'insieme dei $900$ lanci?

a: \(900/6 = 150\)
b: Io metterei \(\ge 179,5\) nella formula per l'approssimazione con la gaussiana. Chiaramente in questo caso non cambia molto.
c: Vinciamo mediamente \(900(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\frac{5}{6}\)) Euro ogni volta che giochiamo. Quindi il prezzo equo sarebbe \(-225\) Euro. Dovrei essere pagato per giocare a questo gioco.

[mobley]

"ghira":Vinciamo mediamente \(900(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\frac{5}{6}\)) Euro ogni volta che giochiamo.

Anzitutto grazie per la risposta! Quindi per come hai formalizzato il problema stai solo ipotizzando che lo stesso gioco (1 lancio) si ripeta 900 volte. Certo, i lanci sono indipendenti quindi ogni volta lo stesso gioco si ripete, ma il testo parla di "insieme dei 900 lanci" quindi ho usato le sommatorie per calcolare su 900 lanci quante volte si vince e quante si perde (anche se ora, ragionando a mente lucida, per come ho impostato io problema andrei a vincere 1€ ogni volta che perdo e perdere 0,5 ogni volta che vinco, che ovviamente non ha senso).
Ti ringrazio per l'aiuto allora!