Gioco delle 3 carte
Salve, scrivo qui perché il tema è la probabilità, anche se il problema è di informatica teorica (quindi credo che di primo acchitto la definizione del problema possa suonare strana a chi studia probabilità, correggetemi se sbaglio 
):
Il gioco delle 3 carte.
ogni partita è definita: spendo 1€ per scoprire ogni carta. Posso scoprire fino a 3 carte spendendo 3€. Scoprire la carta vincente mi fa vincere 2€.
Devo scegliere l'algoritmo da usare. In questo contesto scegliere l'algoritmo vuol dire decidere se scoprire sempre 1, 2 o tutte e 3 le carte.
La scelta (algoritmo) migliore che posso fare per risolvere il problema è scoprire ad ogni partita tutte e 3 le carte.
Così su \(\displaystyle m \) partite ho un costo atteso di \(\displaystyle m/3 + 2m/3 + 3m/3 = 2m \)
Dato che la vittoria è uguale a \(\displaystyle 2m \) scegliendo il metodo di scoprire tutte e 3 le carte vado in pari, ossia il guadagno atteso è 0.
Perché scegliendo l'algoritmo che scopre sempre solo due carte (l'ordine è sempre a caso) il guadagno atteso (costo-vincita) è in perdita?
):Il gioco delle 3 carte.
ogni partita è definita: spendo 1€ per scoprire ogni carta. Posso scoprire fino a 3 carte spendendo 3€. Scoprire la carta vincente mi fa vincere 2€.
Devo scegliere l'algoritmo da usare. In questo contesto scegliere l'algoritmo vuol dire decidere se scoprire sempre 1, 2 o tutte e 3 le carte.
La scelta (algoritmo) migliore che posso fare per risolvere il problema è scoprire ad ogni partita tutte e 3 le carte.
Così su \(\displaystyle m \) partite ho un costo atteso di \(\displaystyle m/3 + 2m/3 + 3m/3 = 2m \)
Dato che la vittoria è uguale a \(\displaystyle 2m \) scegliendo il metodo di scoprire tutte e 3 le carte vado in pari, ossia il guadagno atteso è 0.
Perché scegliendo l'algoritmo che scopre sempre solo due carte (l'ordine è sempre a caso) il guadagno atteso (costo-vincita) è in perdita?
Risposte
Non entro nel tema che lascio ad altri più esperti di me ma se la vincita è di $2\ €$ e scoprendo tutte le carte ne spendi $3$, come fai ad essere in pari scoprendole tutte e tre?
@Alex, si intende ovviamente scoprire tutte e tre le carte se non la indovini prima....
Con semplici considerazioni ottieni che, scegliendo sempre tre carte, la tua variabile guadagno è
$G={{:(-1,0,1),(1/3,1/3,1/3):}$
di media $E[G]=0$
Infatti:
Se indovino al primo colpo [$p=1/3$] guadagno $-1+2= 1$€
Se indovino al secondo colpo [$p=2/3*1/2=1/3$] guadagno $-1-1+2= 0$€
Se sbaglio entrambe le carte [$p=2/3*1/2=1/3$] guadagno $-1-1-1+2=- 1$€ dato che devo pagare ancora 1€ per scoprire l'ultima carta, sicuramente vincente.
Ciao
Con semplici considerazioni ottieni che, scegliendo sempre tre carte, la tua variabile guadagno è
$G={{:(-1,0,1),(1/3,1/3,1/3):}$
di media $E[G]=0$
Infatti:
Se indovino al primo colpo [$p=1/3$] guadagno $-1+2= 1$€
Se indovino al secondo colpo [$p=2/3*1/2=1/3$] guadagno $-1-1+2= 0$€
Se sbaglio entrambe le carte [$p=2/3*1/2=1/3$] guadagno $-1-1-1+2=- 1$€ dato che devo pagare ancora 1€ per scoprire l'ultima carta, sicuramente vincente.
Ciao
grazie della risposta, ma non vedo (o forse non ho colto) dove risponde alla domanda "che succede se scopro sempre solo 2 carte? Qual è il guadagno atteso? E se ne scopro solo 1?"
EDIT: ho modificato l'ultima frase del primo post. Era sbagliata.
Scegliendo di scoprire sempre solo 2 carte io so che il guadagno atteso è negativo (vado in perdita), dato che so che il migliore algoritmo è scoprire tutte e 3 le carte. Dovrei dimostrare che scoprendo 2 carte vado in perdita, e peggio ancora scoprendone una sola.
EDIT: ho modificato l'ultima frase del primo post. Era sbagliata.
Scegliendo di scoprire sempre solo 2 carte io so che il guadagno atteso è negativo (vado in perdita), dato che so che il migliore algoritmo è scoprire tutte e 3 le carte. Dovrei dimostrare che scoprendo 2 carte vado in perdita, e peggio ancora scoprendone una sola.
Il ragionamento (credo sbagliato, perché so e devo dimostrare che scoprendo due carte vado in perdita) che faccio è:
Caso di due carte:
\(\displaystyle COSTO(ATTESO) = m/3 + 2m/3 = m \)
\(\displaystyle VINCITA(ATTESA) = 2m/3+2m/3 = 4/3m \)
dato che vinco di più di quel che spendo (valore atteso) c'è qualcosa che non quadra..
Caso di due carte:
\(\displaystyle COSTO(ATTESO) = m/3 + 2m/3 = m \)
\(\displaystyle VINCITA(ATTESA) = 2m/3+2m/3 = 4/3m \)
dato che vinco di più di quel che spendo (valore atteso) c'è qualcosa che non quadra..
Se scopro al massimo due carte la variabile guadagno è
$G={{:(-2,0,1),(1/3,1/3,1/3):}$
di media $E[G]=-1/3$ per le stesse considerazioni precedenti.
Facendo $m$ partite basta moltiplicare per $m$...
Però scusa se mi permetto... ma hai letto bene (e capito) ciò che ti ho scritto prima?
$G={{:(-2,0,1),(1/3,1/3,1/3):}$
di media $E[G]=-1/3$ per le stesse considerazioni precedenti.
Facendo $m$ partite basta moltiplicare per $m$...
Però scusa se mi permetto... ma hai letto bene (e capito) ciò che ti ho scritto prima?
"tommik":
Però scusa se mi permetto... ma hai letto bene (e capito) ciò che ti ho scritto prima?
hai perfettamente ragione, passare da 3 carte a 2 o 1 dalla spiegazione del tuo post era immediato, sarà l'ora..
grazie mille
"tommik":
@Alex, si intende ovviamente scoprire tutte e tre le carte se non la indovini prima....
Non credo che l'OP intenda questo ... anche perché scrive
"alfredopacino":
La scelta (algoritmo) migliore che posso fare per risolvere il problema è scoprire ad ogni partita tutte e 3 le carte. ... scegliendo il metodo di scoprire tutte e 3 le carte vado in pari, ossia il guadagno atteso è 0.
ed anche
"alfredopacino":
... dato che so che il migliore algoritmo è scoprire tutte e 3 le carte. ...
Se è come dici tu, non esiste algoritmo migliore o peggiore, si tira finché non esce la carta giusta ... ma non mi pare che intenda questo ... la mia impressione è che ci sia un "misunderstanding" ... IMHO, ovviamente
Cordialmente, Alex
tommik ha capito perfettamente, anche perché un eventuale algoritmo "scopro sempre tutte le carte a prescindere dal fatto di aver trovato la vincente o no" sarebbe in perdita di 1 ogni partita..c'è poco da ragionare 
@Alex: Esiste un algoritmo (scegliere ad oltranza finché si trova la carta giusta) che porta ad avere un guadagno atteso nullo contro gli altri due (d'azzardo) che generano un guadagno atteso negativo
(Diciamo anche che il testo poteva essere scritto meglio...)
(Diciamo anche che il testo poteva essere scritto meglio...)
"alfredopacino":
tommik ha capito perfettamente, anche perché un eventuale algoritmo "scopro sempre tutte le carte a prescindere dal fatto di aver trovato la vincente o no" sarebbe in perdita di 1 ogni partita..c'è poco da ragionare
E allora NON è "scopro sempre 3 carte" ma "scopro $n$ carte (con $1<=n<=3$) a meno che trovi quella vincente, in tal caso mi fermo" ... se permetti, c'è una bella differenza ...
"axpgn":
[quote="alfredopacino"]tommik ha capito perfettamente, anche perché un eventuale algoritmo "scopro sempre tutte le carte a prescindere dal fatto di aver trovato la vincente o no" sarebbe in perdita di 1 ogni partita..c'è poco da ragionare
E allora NON è "scopro sempre 3 carte" ma "scopro $n$ carte (con $1<=n<=3$) a meno che trovi quella vincente, in tal caso mi fermo" ... se permetti, c'è una bella differenza ...
[/quote]hai ragione anche tu, ho solo usato la definizione usata nelle dispense, che effettivamente letta così è molto ambigua
"alfredopacino":
Dovrei dimostrare che scoprendo 2 carte vado in perdita, e peggio ancora scoprendone una sola.
E non è l'unico errore della traccia....anche la frase citata è sbagliata. Per evidenti ragioni l'algoritmo peggiore è quello un cui si scoprono "al più " due carte
Inoltre, per dirla tutta, non è possibile scegliere un algoritmo rispetto ad un altro basandosi unicamente sulla media.
Per poter decidere è necessario confrontare media e varianza per ogni algoritmo.
$G_((1))={{: ( -1 , 1 ),( 2/3 , 1/3 ) :}rarr {{: ( E[G_((1))]=-1/3 ),( V[G_((1))]=8/9 ) :}$
$G_((2))={{: ( -2 , 0,1 ),( 1/3,1/3 , 1/3 ) :}rarr {{: ( E[G_((2))]=-1/3 ),( V[G_((2))]=14/9 ) :}$
$G_((3))={{: ( -1 , 0,1 ),( 1/3,1/3 , 1/3 ) :}rarr {{: ( E[G_((3))]=0),( V[G_((3))]=4/9 ) :}$
Ora effettivamente possiamo decidere ordinando gli algoritmi dal migliore al peggiore
1) il preferibile è il terzo, avendo media maggiore e varianza minore degli altri
2) il primo è preferibile al secondo dato che, pur avendo pari perdita attesa ha una minore variabilità (nei casi peggiori si prevedono perdite minori mentre nei casi migliori al massimo pari guadagni)
3) il secondo è l'ultimo della lista e, se ci pensi bene, è del tutto naturale dato che, nel caso di doppio errore potresti incassare la vincita che vale di più del costo dell'ultima carta (sicuramente vincente)
.... forse è meglio rifarsi a testi originali che non a dispense da verificare IMHO
saluti
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