Giochiamo?
Qual e' la probabilita' che tirando un dado (non truccato) esca il numero 1?
Qual e' la probabilita' che scegliendo un numero intero a caso questo sia pari?
Qual e' la probabilita' che scegliendo un numero intero a caso questo sia positivo?
Qual e' la probabilita' che scegliendo un numero intero a caso questo sia pari?
Qual e' la probabilita' che scegliendo un numero intero a caso questo sia positivo?
Risposte
1) Se ti riferisci al comune dado a 6 facce, direi 1/6. LOL
Le altre due domande mi fanno venire in mente questo interessante topic
altro-giochino-t67237.html?hilit=probabilit%C3%A0
Ripropongo un'osservazione di Rigel (il problema riguardava i naturali e non gli interi, ma credo l'osservazione sia comunque pertinente):
In pratica mi chiedo se abbiano "senso" le domande 2 e 3.
Le altre due domande mi fanno venire in mente questo interessante topic
altro-giochino-t67237.html?hilit=probabilit%C3%A0
Ripropongo un'osservazione di Rigel (il problema riguardava i naturali e non gli interi, ma credo l'osservazione sia comunque pertinente):
Ho però una domanda preliminare: se non usi un approccio frequentista sui primi n numeri naturali [cut] ma [cut] consideri tutti i numeri maggiori di n, per parlare di probabilità hai bisogno di fissare una misura di probabilità (sostanzialmente sui naturali). Qual è la misura di probabilità che stai considerando (dal momento che non si può usare quella uniforme)?
In pratica mi chiedo se abbiano "senso" le domande 2 e 3.
In effetti la domanda puo' essere rigirata piu' tecnicamente: c'e' una maniera per generalizzare la misura uniforme ad insiemi infiniti, almeno nel caso dell'insieme dei numeri interi?
Ah, dimenticavo.. misure finitamente additive (non necessariamente $\sigma$ additive) sono ammesse! D'altronde, come dicono un paio di signori abbastanza famosi (che sarebbero De Finetti e Kolmogorov), l'additivita' completa e' una buona ipotesi supplementare per fare i calcoli, ma nella realta' noi abbiamo a disposizione soltano un numero finito di osservazioni..
La questione è interessante. Non credo si possa creare una misura uniforme sigma-additiva (crerebbe degli assurdi); però magari qualcosa la si può fare rilassando la sigma additività con l'additività finita. Credo che il problema sia trattato in letteratura da qualche parte, se provi a cercare con Google (magari in inglese) credo qualcosa trovi
volevo sentire pareri intuitivi...
In piu' spero di sentire il parere di Fioravante.
La trattazione classica, che a me pare soddisfacente, e' quella di generalizzare il concetto di misura uniforme con quello di misura invariante per traslazioni.
(Che esistano misure finitamente additive invarianti per traslazioni sugli interi e' cosa ben nota (prendi la famiglia delle estensioni alla Hahn-Banach della densita', applica l'operatore traslazione a tale famiglia. Esso ha un punto fisso per il teorema di Markov-Kakutani. Questo punto fisso e' per costruzione una misura di probabilita' finitamente additiva invariante per traslazioni)).
Comunque lo scopo di questo post era di sentire pareri, anche intuitivi, per cercare di capire quanto la trattazione tecnica classica rispecchi l'intuizione comune.
In piu' spero di sentire il parere di Fioravante.
La trattazione classica, che a me pare soddisfacente, e' quella di generalizzare il concetto di misura uniforme con quello di misura invariante per traslazioni.
(Che esistano misure finitamente additive invarianti per traslazioni sugli interi e' cosa ben nota (prendi la famiglia delle estensioni alla Hahn-Banach della densita', applica l'operatore traslazione a tale famiglia. Esso ha un punto fisso per il teorema di Markov-Kakutani. Questo punto fisso e' per costruzione una misura di probabilita' finitamente additiva invariante per traslazioni)).
Comunque lo scopo di questo post era di sentire pareri, anche intuitivi, per cercare di capire quanto la trattazione tecnica classica rispecchi l'intuizione comune.
"ubermensch":
volevo sentire pareri intuitivi...
Anche il tuo intuito dice 1/2 ?
a quale domanda ti riferisci, alla 2) o alla 3) o a entrambe?
Entrambe.
Sono curioso: nella trattazione tecnica classica quanto risulterebbe ?
Sono curioso: nella trattazione tecnica classica quanto risulterebbe ?
e' questo il punto: esce fuori, come e' normale, che la risposta alla seconda domanda e' $\frac{1}{2}$. Prima di darti la risposta alla terza ti chiedo di riflettere su un punto: per quale motivo reale la probabilita' di pescare un numero positivo in mezzo ai numeri interi deve essere $\frac{1}{2}$?
"Valerio Capraro":
per quale motivo reale la probabilita' di pescare un numero positivo in mezzo ai numeri interi deve essere $\frac{1}{2}$?
Mmm.. forse perchè mi viene naturale considerare un intervallo centrato sullo zero (scelta del tutto arbitraria!).
Invece nel caso della seconda domanda, pur traslando l'intervallo, il rapporto pari/dispari dovrebbe conservarsi.
Anche a me l'intuito dice un mezzo. Leggendo queste tue parole mi verrebbe da dire:
se è invariante per traslazione considerando P={0,2,4,...}, si può dire che D={1,3,5,...}=A+1 hanno stessa probabilità
Dall'additività finita $1=P(P)+P(D)=2p$
Per l'altro mi verrebbe da dire sempre un mezzo (anche se da come rispondi non sembra) perchè
prendo un numero naturale e lancio una moneta per mettergli il segno (sperando che lo 0 non crei casini)
boiata/e?
attendo interessato, come cenzo, la tua spiegazione.
Buonanotte.
"Valerio Capraro":
(Che esistano misure finitamente additive invarianti per traslazioni sugli interi e' cosa ben nota (prendi la famiglia delle estensioni alla Hahn-Banach della densita', applica l'operatore traslazione a tale famiglia. Esso ha un punto fisso per il teorema di Markov-Kakutani. Questo punto fisso e' per costruzione una misura di probabilita' finitamente additiva invariante per traslazioni)).
se è invariante per traslazione considerando P={0,2,4,...}, si può dire che D={1,3,5,...}=A+1 hanno stessa probabilità
Dall'additività finita $1=P(P)+P(D)=2p$
Per l'altro mi verrebbe da dire sempre un mezzo (anche se da come rispondi non sembra) perchè
prendo un numero naturale e lancio una moneta per mettergli il segno (sperando che lo 0 non crei casini)
boiata/e?
attendo interessato, come cenzo, la tua spiegazione.
Buonanotte.
@cenzo: il fatto che la misura sia simmetrica rispetto allo $0$ e' una richiesta che in alcuni casi e' naturali, ma non c'e' nessun motivo astratto che la giustifica. Anche se fosse mi verrebbe pero' da chiederti cosa ne pensi della probabilita' che preso un numero $n$, con $|n|>2$, la parte intera inferiore di $lg_2(lg_2|n|)$ sia pari.
Th. 1. Per ogni numero reale $r\in[0,1]$ esiste una misura di probabilita' finitamente additiva su $\mathbb Z$, invariante per traslazioni e per scambio di segno, tale che la misura di tale insieme sia uguale a $r$
Dim. Difficile.
@dajeforte: e' carina questa storia della moneta. Ma c'e' un sottile errore logico: affinche' sia possibile mettergli un segno e fare quella simulazione ASSUMI IMPLICITAMENTE che la probabilita' dei due insiemi sia un mezzo. Quindi mi hai dimostrato una cosa assumendola per ipotesi.
Th. 2 Per ogni numero reale $r\in[0,1]$ esiste una misura di probabilita' finitamente additiva su $\mathbb Z$ e invariante per traslazioni tale che la misura dei naturali sia uguale ad $r$.
Dim. Leggermente meno difficile dell'altra.
Th. 1. Per ogni numero reale $r\in[0,1]$ esiste una misura di probabilita' finitamente additiva su $\mathbb Z$, invariante per traslazioni e per scambio di segno, tale che la misura di tale insieme sia uguale a $r$
Dim. Difficile.
@dajeforte: e' carina questa storia della moneta. Ma c'e' un sottile errore logico: affinche' sia possibile mettergli un segno e fare quella simulazione ASSUMI IMPLICITAMENTE che la probabilita' dei due insiemi sia un mezzo. Quindi mi hai dimostrato una cosa assumendola per ipotesi.
Th. 2 Per ogni numero reale $r\in[0,1]$ esiste una misura di probabilita' finitamente additiva su $\mathbb Z$ e invariante per traslazioni tale che la misura dei naturali sia uguale ad $r$.
Dim. Leggermente meno difficile dell'altra.
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