Generalizzazione della def. di misura di probabilità

[solaàl]

Qualcuno ha mai studiato una generalizzazione della definizione di spazio di probabilità \(\mathfrak X =(X,\Omega(X),\mu)\) dove la misura di probabilità \(\mu : \Omega(X) \to [0,1]\) assume valori, invece che nell'intervallo \([0,1]\), in un altro insieme ordinato \((J,\le)\)? Un tale $J$ potrebbe essere, per esempio,

a. Il cubo chiuso \([0,1]^n\) dotato dell'ordine lessicografico;
b. Il cubo infinito \([0,1]^{\mathbb N}\) dotato dell'ovvio ordine indotto;
c. Un ordine totale e denso di cardinalità\(\neq\aleph_1\) (più bassa: i razionali; più alta, a vostra scelta);
d. Altro...

Chiaramente continuando a chiedere che \(\mu\) sia \(\sigma\)-additiva e che \(\mu(X)=\top\), sicché \(J\) deve essere un qualche tipo di reticolo (modulare, complementato, completo, etc.) con estremi \(\{\perp,\top\}\).

In un qualche senso, la scelta di \([0,1]\) è in qualche modo "universale", e questo può accadere per diversi motivi:

1. La maggior parte delle \(\sigma\)-algebre utili alla pratica di tutti i giorni sono \(\sigma\)-algebre di boreliani rispetto a una topologia su \(X\); del resto se \(X\) è un insieme finito, l'immagine di \(\mu : \Omega(X) \to [0,1]\) è al più numerabile. Ha qualche altra proprietà, tipo essere densa? (Cosicché ad esempio \([0,1]\) sarebbe un opportuno completamento di \(\mu(\Omega)\).)
2. L'intervallo chiuso \([0,1]\), o una qualsiasi sua immagine omeomorfa (quindi un compatto connesso \(J\subset \mathbb R\)) ha una certa, profonda, proprietà universale,

Definisco una coalgebra di diastema, o semplicemente un diastema, come un insieme dotato delle seguenti operazioni

d1. Due costanti distinte \(\perp\, \neq \top\);
d2. Due operazioni unarie \( (\_)^\lor, (\_)^\land : X\to X\) che preservano top e bottom e tali che
\[
\forall x\in X : x^\lor = \top \quad {\sf OR} \quad x^\land = \perp
\] Ora, un tale insieme è una "coalgebra" per il funtore \((\_)^{\lor 2}\), che manda un insieme \(X\) con due punti distinti \(\top,\perp \in X\) nell'insieme \(X\lor X\), ottenuto come sottoinsieme del prodotto \(X\times X\) delle coppie \(\{(x,y) \mid x = \top \} \cup \{(x,y) \mid y = \perp\}\) (chiaramente il punto \((\top,\perp)\) appare in entrambi gli insiemi, ed è lo stesso elemento di \(X\lor X\); volendo si può essere più formali, definendo \(X\lor X\) come il pushout

[tex]\xymatrix{
1 \ar[r]^-{(\top,\perp)}\ar[d]_-{(\top,\perp)} \ar@{}[dr]|(.75)\ulcorner & X \times \{\perp\} \ar[d]\\
\{\top\} \times X \ar[r] & X \lor X
}[/tex]

ma questo non è essenziale).

Sono ora chiare due cose:

1. Esiste una nozione ovvia di omomorfismo di diastemi: è una funzione \(f : X \to Y\) che preserva top e bottom e commuta con \(\land\) e \(\lor\); e quindi esiste una nozione di isomorfismo di diastemi.
2. L'insieme \([-1,1]\) (scelgo questi estremi perché è più facile definire la sua struttura) è un diastema rispetto alle operazioni \(x^\lor = \min (1,2 x+1)\) e \(x^\land = \max(2x-1,-1)\).

Vale, in più, che \(I\) è il diastema terminale: per ogni altro diastema \(X\) esiste un unico omomorfismo di diastemi \(f : X \rightsquigarrow I\). (Come conseguenza, esiste una biiezione, che in effetti è un omeomorfismo, \(I\to I\lor I\), definita nel modo ovvio in cui l'intervallo \([-1,1]\) viene percorso a velocità doppia.)

che quindi lo caratterizza univocamente come la scelta minima di insieme dotato di una certa struttura. Possiamo però scegliere altri spazi dove \(\mu\) assume valori. Qualcuno ha mai studiato questo problema?

[solaàl]

Metto qui qualche pensiero sparso:

- Definisco un gap \(J\) come un insieme parzialmente ordinato con top e bottom, dotato di sup numerabili.

- Ora dico che una \(J\)-misura o una "misura a valori nel gap \(J\)" è una funzione \(\mu : \Omega(X) \to J\) con le seguenti proprietà:

1. \(\mu(\varnothing)=\perp\) e \(\mu(X)=\top\)
2. \(\mu(\bigcup E_i) = \bigvee \mu(E_i)\) per ogni famiglia numerabile \((E_i\mid i\in I)\) di elementi di \(\Omega(X)\) che siano a due a due disgiunti.

Ora, se \(X\) è un insieme finito, consideriamo per fissare le idee l'insieme \(PX \) delle sue parti;

1. c'è un ovvio funtore "tautologico" \(t : PX\to \sf Set\) che manda un sottoinsieme \(U\subseteq X\) in sé stesso; lo stesso funtore tautologico esiste ogni volta che su \(X\) sia messa una \(\sigma\)-algebra \(\Omega\), e in un certo senso la \(\sigma\)-algebra andrebbe rimpiazzata con questo funtore: l'idea è che un "evento" \(E\) viene mandato da \(t\) nell'insieme degli outcome che corrispondono all'evento \(E\) stesso...

Ovviamente sarebbe bello formalizzare questa cosa megli di così.

2. Ora, il funtore \(t\) è l'identità anche sulle inclusioni \(E\subseteq F\) tra eventi: supponiamo di poter rompere un evento \(A=B\cup C\) come somma di due eventi più piccoli. Allora la proprietà universale dell'unione, o del coprodotto se l'unione era disgiunta, implica che esiste una funzione \(tB \cup tC \to tA\); la condizione che questa sia suriettiva mi sembra essere legata a una proprietà di sub-additività di una misura. In quale modo, devo pensarci.

3. Supponiamo ora che \(PX\) sia una generica \(\sigma\)-algebra su un insieme \(X\); il fatto che esista questo funtore "tautologico" \(t : PX \to \sf Set\) mi ricorda molto il modo in cui si costruisce lo spazio etalé di un fascio: anche in quel caso esiste un funtore tautologico \(t : \mathfrak o(X) \to {\sf Top}/X\) che manda un aperto \(U\subseteq X\) nella inclusione insiemistica guardata come funzione continua con codominio \(X\) -da tali oggetti è composta infatti la categoria \({\sf Top}/X\), che ora, essendo cocompleta, permette di definire una unica estensione continua di \(t\) a una mappa \(PSh(X) = [\mathfrak o(X)^\text{op},{\sf Set}] \to {\sf Top}/X\); questa mappa ha un aggiunto destro, che è pienamente fedele sulla sottocategoria degli omeomorfismi locali a codominio \(X\), o appunto, spazi etalé a codominio \(X\), e ha per immagine essenziale la sottocategoria dei fasci su $X$.

Quindi, nel caso di una sigma-algebra di eventi uno è portato a considerare \(t : PX \to \sf Set\) e una analoga aggiunzione
\[
t^* : [PX^\text{op}, {\sf Set}] \leftrightarrows {\sf Set} : N
\] dove $N$ è definito come "Yoneda ristretto": un insieme \(A\) va nel funtore che manda un evento $E$ nell'insieme \({\sf Set}(E,A)\) ("...probing an event in a space $A$?").