Gaussiana standard e non

[fazer90]

avrei una domanda teorica per voi, mi è capitato un esercizio qualche giorno fa in cui data una distribuzione gaussiana di media $\mu$=28 e varianza $\sigma^{2}$=7.5 mi chiedeva di calcolare la probabilità di x=30.
il problema è banale lo so ma non riesco a spiegarmi una cosa, ovvero se devo usare la pdf della gaussiana standard o della non standard:
$(1)/(\sigma sqrt(2\pi))$ $e^{-1/2 ((x-\mu)/(\sigma))^{2}}$

io userei questa formula della gaussiana non standard ma il dubbio mi sorge perchè nel caso in cui il problema mi avesse rischiesto invece la probabilità di trovare x>30, allora la mia distribuzione sarebbe rimasta la stessa ma la CDF che avrei dovuto adottare sarebbe stata definita come l'integrale di una PDF standard ovvero senza \sigma al denominatore.

[niandra82]

Per me stai facendo un po' di confusione.
Intanto la probabilità di x=30 è zero, perchè la gaussiana è una distribuzione continua e quindi un valore puntuale ha probabilità zero.
Quando ti si chiede la probabilità di x=30, tu devi standardizzare la variabile e utilizzare quindi la normale standardizzata solamente perchè è l'unica normale di cui si trovino i valori dei dell'integrale.....

[fazer90]

innanzitutto grazie per la risposta, però credo che quello che dici non sia proprio corretto.
1)la probabilità di x=30 non può mai essere zero ma assumerà una probabilità pari alla f(x=30) all'interno della relativa PDF anche perchè è lo stesso discorso che fai con la PMF nel discreto solo che qui lo applichi al continuo.
2) Non metto in dubbio il fatto che magari debba standardizzare, ma ciò di cui ho bisogno per trovare la mia probabilità in un singolo punto è una PDF non una CDF quindi (almeno secondo me) non ho bisogno di alcun integrale e relative aree sottese.

[niandra82]

ti rispondo

1) se indichiamo con $f(x)$ la PDF (probability density function) della normale, possiamo scrivere che

$P(x_{1}

adesso dato che vuoi una probabilità puntuale devi avere che $x_{1}=x_{2}$ quindi l'integrale colassa e non ha valore

2) la cdf, come dice il nome (cumulative density function) è una funzione cumulativa, indichiamola con $F(x)$, abbiamo che $F(x)=P(X
$P(x_{1}
anche in questo caso se $x_{1}=x_{2}$ abbiamo che $P(X

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[fazer90]

il problema è proprio quello ^^ io sto parlando di PDF ovvero funzione densità di probabilità e non CDF perchè so che non mi sarebbe utile utilizzarla. sono due cose diverse.

[niandra82]

ma ance con la PDF, vedi il punto 1, non è possibile calcolare la probabilità puntuale......puoi calcolare il valore dells PDF ad una specifica x, ma non è la probabilità, la probabilità si definisce con l'integrale

[fazer90]

tanto per essere più precisi, se io cerco la CDF di x=30 come hai giustamente detto avrò un integrale definito tra $x_1$=30 e $x_2$=30 e chiaramente è nullo in qunto l'area sottesa (distribuzione cumulata di probabilità) è nulla. E' proprio per questo che intendo usare la PDF che contrariamente alla CDF mi dice soltanto quanto vale la probabilità in quel determinato punto date quelle condizioni.
E comunque come mi suggeriresti di risolvere il problema?

[retrocomputer]

Non penso che la PDF dica quanto vale la probabilità in un punto. La probabilità di un punto, come di un qualsiasi altro insieme $A$ è data da
$P(A)=\int_A f(x)\ dx$
e quindi, per $A=\{t\}$ risulta
$P\{t\}=\int_{\{t\}}f(x)\ dx=\int_t^t f(x)\ dx=0$, no?

[retrocomputer]

"niandra82":ma ance con la PDF, vedi il punto 1, non è possibile calcolare la probabilità puntuale......puoi calcolare il valore dells PDF ad una specifica x, ma non è la probabilità, la probabilità si definisce con l'integrale

Ops! Scusa, non ho visto che avevi già risposto

[niandra82]

La soluzione è che non esiste la probabilità, o meglio, la probabilità di x=30 è quasi certamente zero...

Mi sorge un dubbio, il concetto di "quasi certamente" l'hai fatto? altrimenti ti conviene leggere su wiki http://it.wikipedia.org/wiki/Quasi_certamente , questo può in parte risolvere il tuo dubbio.

[niandra82]

"retrocomputer":Non penso che la PDF dica quanto vale la probabilità in un punto. La probabilità di un punto, come di un qualsiasi altro insieme $A$ è data da
$P(A)=\int_A f(x)\ dx$
e quindi, per $A=\{t\}$ risulta
$P\{t\}=\int_{\{t\}}f(x)\ dx=\int_t^t f(x)\ dx=0$, no?

quell che dici è giusto anche perchè, se prendiamo il valore di $f(x)$ di una normale com media 0 e deviazione standard 0.01, abbiamo che in zero $f(0)=40$ , all'incirca...e 40 non può essere un valore di probabilità

[fazer90]

vado a dargli un' occhiata grazie

[retrocomputer]

"niandra82":
quell che dici è giusto anche perchè, se prendiamo il valore di $f(x)$ di una normale com media 0 e deviazione standard 0.01, abbiamo che in zero $f(0)=40$ , all'incirca...e 40 non può essere un valore di probabilità

Ottima osservazione!