Funzioni di variabili aleatorie esponenziali

[JustDipax1997]

Buonasera ragazzi ho il seguente problema:
Siano X e Y due variabili aleatorie esponenziali indipendenti entrambe di parametro \lambda.
Poi ho una Z che è definita come il rapporto tra X e Y.
Z=XY ... mi devo ricavare la funzione di densità e la funzione di ripartizione di Z. Come Faccio?

L'unica cosa a cui avevo pensato era quella di , dato che le variabili sono indipendenti di moltiplicare tra di loro le densità e di ottenere così la densità congiunta.
Ma il procedimento non mi convince e poi non riesco a ricavarmi la funzione di ripartizione
Cosa devo fare?

[Lo_zio_Tom]

"JustDipax1997":
Siano X e Y due variabili aleatorie esponenziali indipendenti entrambe di parametro \lambda.
Poi ho una Z che è definita come il rapporto tra X e Y....

Cosa devo fare?

1) leggere il regolamento che vieta di scrivere i titoli tutti in maiuscolo (te l'ho corretto io stavolta)

2) una vollta calcolata la pdf congiunta (come hai giustamente fatto) calcoli la CDF della tua variabile Z così:

[size=150]$F_Z(z)=int int_(g(X,Y)<=z)f(x,y)dxdy$[/size]

Una volta calcolata F la derivi e trovi la densità.

Se anche le variabili non fossero indipendenti, una volta che il testo ti fornisce la $f(x,y)$ fai la stessa cosa....

...se hai ancora problemi puoi mettere una bozza di soluzione così vediamo dove ti blocchi
(oppure usi la funzione cerca che di esercizi così ce ne sono a decine...tutti risolti e commentati, molti da me)

Dato che sei appena arrivato ti mostro il primo, così vedi anche come dovrai inserire le formule.

$Z=X/Y $

$Z in (0;+ oo) $

1° metodo: il metodo della Funzione di Ripartizione

$P(X/YX/z)=int_(0)^(+oo)f(x)dxint_(x/z)^(+oo)f(y)dy=...=z/(z+1)$

Da cui derivando trovi la densità


2° metodo: Calcolo diretto della densità

$f_Z(z)=int_(0)^(+oo)yf_(XY)(zy,y)dy=theta^2int_(0)^(+oo)ye^(-thetay(z+1))dy$

osserviamo che possiamo riscrivere l'integrale in questo modo:


$theta^2/(theta^2(z+1)^2)int_(0)^(+oo)theta(z+1)ye^(-theta(z+1)y)d[theta(z+1)y]=1/(z+1)^2 Gamma(2)=1/(z+1)^2 I_((0;+oo))(z)$

integrando ottieni la Funzione di ripartizione richiesta.


3° metodo: il metodo della variabile ausiliaria

Consideri una trasformazione del tipo $2 rarr 2$ utilizzando una variabile di comodo, es $U=X$; a questo punto effettui un cambio di variabili (con le tecniche che dovresti conoscere) da $(X,Y) rarr (Z,U)$ ed integri su tutto il dominio di $U$ ottenendo, per definizione, la densità richiesta

saluti

[JustDipax1997]

Ah ok scusami non avevo ancora letto il regolamento perché sono nuovo del forum...
Comunque ok allora la densità congiunta che avevo ricavato era giusta purtroppo non riesco proprio ancora a capire quali devono essere gli intervalli di integrazione del mio integrale doppio per ricavarmi la funzione DI ripartizione