Funzioni di variabili aleatorie

[powamaker]

Ciao a tutti ragazzi,

da una definizione del professore sulle dispense leggo:
Una funzione a(x) di una variabile aleatoria x (con distribuzione di probabilità f(x)) è essa stessa una variabile aleatoria. Consideriamo un dominio dS di x per cui [tex]a \in [a,a+da][/tex] e supponiamo a monotona, allora

[tex]g(a)da = \int_{dS} f(x)\, dx \cong ...[/tex]

Quello che segue l'ho capito, ma non so come abbia potuto dare quella definizione. Da cosa lo si ricava?

Grazie a tutti per l'aiuto!!

[Lo_zio_Tom]

"powamaker":.... ma non so come abbia potuto dare quella definizione.

Così. Semplicemente in base alla definizione di CDF:

$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(a(X)<=y)$

in altri termini: per ogni $Y in D$ dobbiamo determinare i valori di $X$ la cui immagine attraverso la funzione $a$ è $<=y$ e determinare la probabilità dell'evento corrispondente.

Se, ad esempio, la funzione $a(x)$ è crescente, otteniamo subito:


$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X<=a^(-1)(y))=F_(X)(a^(-1))$



per dirla tutta la definizione del tuo prof è un po' imprecisa..io scriverei così

$int_(D)dF(x)$

indicando in questo modo il caso più generale, che include sia il caso continuo che quello discreto.

Sicuramente è un caso che avrai già trattato ma, data la sua enorme importanza in campo Statistico, ti invito a determinare la seguente trasformazione (traformazione integrale):

Sia $X$ una variabile dotata di CDF continua $F_(X)(x)$. Determinare la distribuzione di $Y=F(x)$



saluti

[powamaker]

Grazie mille per le delucidazioni!!!
La distribuzione di [tex]Y=F(x)[/tex] dovrebbe essere uniforme, corretto?

[Lo_zio_Tom]

$ F _(Y)(y)=P(Y<=y)=P{F_(X)(x)<=y}=P{X<=F_(X)^(-1)(y)}=y $

Uniforme su $(0; 1) $

[powamaker]

Grazie mille !!