Funzioni di variabili aleatorie

[irolokirt]

non ho ben capito come ragionare con esercizi di questo tipo

Sia (X, Y ) una v.a. bidimensionale con densità congiunta uniforme nel cerchio di centro l’origine e raggio 2. Determinare la densità della v.a. $ Z=X^2 $

in questo caso ho una densità costante che dovrebbe essere $ 1/(4pi) $ , dire che $ Z=X^2 $ equivale a fare una restrizione della variabile X?? non riesco a vederlo ... come devo procedere in generale ?

grazie

[Lo_zio_Tom]

ci sono due strade.....non so quale sia la più veloce

1) calcolare la densità della marginale X integrando la $f(x,y)$ su tutto il dominio $y$ e poi trasformare $X$ in $X^2$

2) calcolare l'integrale doppio della PDF congiunta sull'evento $x^2
Procedimento 1): calcoliamo innanzitutto la densità della marginale X

$f_(X)(x)=int_(-oo)^(oo)f(x,y)dy=int_(-sqrt(4-x^2))^(sqrt(4-x^2))1/(4pi)dy=1/(2pi)sqrt(4-x^2)I_([-2;2])(x)$


ora è facile calcolare la densità di $Z=g(X)=X^2$ tramite la seguente formula di trasformazione

$f_(Z)(z)=sum_(i=1)^(n)f_(X)(g_(i)^(-1)(z))|d/(dz)g_(i)^(-1)(z)|$


sostituendo ottieni

$f_(Z)(z)=1/(2pi)sqrt((4-z)/z)I_([0;4])(z)$

Procedimento 2) - Metodo della funzione di ripartizione


$f(x,y)=1/(4pi)$ ;$(x,y) in C$, dove C è il cerchio centrato nell'origine di raggio 2.

$Z=X^2$; $Zin [0;4]$

allora

$F_(Z)(z)=P(Z
dove con $A_(x^2
quindi

$F_(Z)(z)=P(X^2
in pratica la CDF è $1/(4pi)$ moltiplicata per l'area seguente (variabile in funzione di $z$)



$F_(Z)(z)=2/(4pi)int_(-sqrt(z))^(sqrt(z))sqrt(4-x^2)dx=...=sqrt(z(4-z))/(2pi)+(arcsen(sqrt(z)/2)-arcsen(-sqrt(z)/2))/pi$

che si vede facilmente essere una CDF dato che $F(0)=0$ e $F(4)=1$

Scritta meglio, la distribuzione di z è questa:


$F_(Z)(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( sqrt(z(4-z))/(2pi)+(arcsen(sqrt(z)/2)-arcsen(-sqrt(z)/2))/pi , ;0<=z<4 ),( 1 , ;z>=4 ) :}$

Per calcolare la densità basta semplicemente derivare la CDF così ottenuta rispetto a z ottenendo:

$f_(Z)(z)={{: ( 1/(2pi)sqrt((4-z)/z) , ;0<=z<=4 ),( 0 , ; al t r o v e ) :}$

I procedimenti che ti ho illustrato sono entrambi validi.
Il primo metodo è molto scolastico ed è quello preferibile per questo esercizio....però non ha una validità di carattere generale; funziona in questo caso perché il testo ti chiede di determinare una funzione di densità della marginale X.
Nel caso di vettori aleatori (come in questo caso) il secondo procedimento è di validità generale, anche se i conti sono un po' più articolati.


ciao

[irolokirt]

grazie mille dell'aiuto
ho provato i due procedimenti e torna
avevo trovato i procedimenti qua https://it.wikiversity.org/wiki/Trasfor ... li_casuali
ma non ero riuscito a capire
quindi con il primo metodo si considera come una trasformazione da dim 1 a dim 1
con il secondo da dim 2 a dim 1
grazie ancora

[Lo_zio_Tom]

sì. Giusto per completezza, esiste anche una terza via...

utilizzare una variabile ausiliaria, trasformare 2 ->2 e poi integrare su tutto il dominio della variabile ausiliaria per trovare $f(z)$

**************************

A questo punto ti propongo un esercizio....semplice ma di soluzione intelligente


$f_(X)(x)={{: ( x^2/3 , ;-1

calcolare la distribuzione (CDF o PDF, a scelta) della variabile $Y=X^2$

[irolokirt]

allora...
la funzione di ripartizione y è:
$ F(y)=P(Y quindi devo integrare f(x) per la f(y) derivo , in definitiva dovrebbe venire :
$ F(y)=2/9*sqrt(y^3) $

$ f(y)=1/3*sqrt(y) $

sicuramente sono caduto in qualcue tranello , non riesco a capire come deve essere il dominio di f(y) (sulla quale l'integrale deve essere 1)
su quel link ho letto che si deve considerare gli intervallo dove la densità è monotona , calcolare li la funzione e fare la somma ...

sto cercando di ragionare ... avevo pensato di dividere l'intervallo non so se é corretto :oops:
$ 2/9*sqrt(y^3)$ $ 0 $1/9*sqrt(y^3) $ $ 1

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[Lo_zio_Tom]

la divisione dell'intervallo è corretta...la CDF trovata no.....

fai conto che le proprietà della F devono sempre essere soddisfatte

$F(-oo)=0$

$F(+oo)=1$

nella tua $F(oo)=F(4)=8/9$

La cosa migliore da fare in questi casi è disegnare sempre la funzione di trasformazione



ti metto la soluzione per controllo....tanto più o meno ci eri arrivato da solo

prima di tutto occorre calcolare la $F_(X)(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt=1/9+x^3/9$

poi, senza utilizzare tante formule...vediamo (come hai giustamente osservato) che il dominio della $y in [0;4]$ va diviso in due parti

1)

$0
$F_(Y)(y)=P(Y
2)
$y>1$

$F_(Y)(y)=P(Y

quindi in definitiva si ottiene

$F_(Y)(y)={{: ( 0 , ;y<0 ),( 2/9sqrt(y^3) , ;0<=y<1 ),(1/9+1/9sqrt(y^3) , ;1<=y<4 ),( 1 , ;y>=4 ) :}$

[irolokirt]

ok desso mi torna
si avevo fatto il disegno anche io per capire , l'ho suttiviso dove l'immagine della funzione si sovrapponeva, poi è chiaro che nel primo la probabilità è compresa fra le due radici e nel secondo si considera solo la radice positiva...
avevo sbagliato per un errore di calcolo della funziome di ripartizione e mi ero confuso

grazie ancora !!