Funzioni di repartizione e densità

[celeste4]

Ciao a tutti...vi sottopongo due esercizi dai quali non riesco a cavare molto, per vedere se magari avete qualche suggerimento su cos'è che devo fare (..sì, a questi livelli...)

1) a) Sia U una variabile aleatoria distribuita uniformemente su [0, 1]. Sia inoltre $F:RR -> [0, 1]$ una fuzione di repartizione strettamente crescente. Mostrare che la variabile aleatoria definita da $X:=F^(-1)(U)$ possiede distribuzione F.

(su questo punto giro in tondo....)

b) Soa X una variabile aleatoria su $RR$ con funzione di densità $f_X$. Sia inoltre $psi$ una funzione differenziabile e strettamente crescente. Mostrare che la variabile aleatoria $Z$ definita implicitamente da $X:= psi(Z)$ possiede la densità $f_X(psi(z))psi'(z)$


2) Sia X~N(0, 1). Dare la densità di$ Y:=X^2 $(senza risolvere l'integrale).

...sperando in qualche aiuto, mi immergo di nuovo nel manuale, che è iper astratto e non mi aiuta molto nella pratica...

[Andrea2976]

Ciao Celeste,

i tuoi esercizi richiedono la conoscenza dei concetti elementari di probabilità ma proprio per questo all'inizio possono risultare ostici.

1) Ti conviene partire dalla definizione di funzione di distribuzione (o ripartizione) $P(X ma sotto le ipotesi del tuo esercizio lo è, prova a finire magari.

2) $P(psi(Z) e inoltre data la crescenza non cambia verso la disequazione.

3) Se hai capito i primi due il terzo è simile, devi solo stare attenta a come è definita l'inversa.

[celeste4]

Per il primo non basta concludere che F(t) è un valore in [0, 1], dunque ho di nuovo la funzione di ripartizione di prima?

Il terzo credo di esser riuscita a farlo, grazie per la risposta tempestiva!

Ora provo ad andare avanti con gli altri punti del primo...

[Andrea2976]

Sai che $F$ è strettamente crescente e quindi invertibile e il segno $<=$ rimane per la crescenza, per concludere ti conviene scrivere esplicitamente la probabilità $P(U

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[_nicola de rosa]

"celeste":Ciao a tutti...vi sottopongo due esercizi dai quali non riesco a cavare molto, per vedere se magari avete qualche suggerimento su cos'è che devo fare (..sì, a questi livelli...)

1) a) Sia U una variabile aleatoria distribuita uniformemente su [0, 1]. Sia inoltre $F:RR -> [0, 1]$ una fuzione di repartizione strettamente crescente. Mostrare che la variabile aleatoria definita da $X:=F^(-1)(U)$ possiede distribuzione F.

(su questo punto giro in tondo....)

b) Soa X una variabile aleatoria su $RR$ con funzione di densità $f_X$. Sia inoltre $psi$ una funzione differenziabile e strettamente crescente. Mostrare che la variabile aleatoria $Z$ definita implicitamente da $X:= psi(Z)$ possiede la densità $f_X(psi(z))psi'(z)$


2) Sia X~N(0, 1). Dare la densità di$ Y:=X^2 $(senza risolvere l'integrale).

...sperando in qualche aiuto, mi immergo di nuovo nel manuale, che è iper astratto e non mi aiuta molto nella pratica...

2) Per il teorema di trasformazione delle v.a si ha $f_Y(y)=[(f_X(x))/(|g'(x)|)]_(x=g^(-1)(y))$.
Ora $x=+-sqrt(y)$, $g'(x)=2x$ per cui $f_Y(y)=1/(sqrt(2pi))*(e^(-y/2))/(2sqrt(y))*2*u(y)=1/(sqrt(2pi*y))*(e^(-y/2))*u(y)$

[celeste4]

Parfait, capito!
Invece per il punto b), sono arrivata all'avere
$P(Z devo quindi derivare $P(Z
Poi ci sono un po' di altri punti...

c) Sia U una variabile aleatoria distribuita uniformamente su [0,1] e $F(t):=1-e^(-lambda t)$ con $lambda>0$
Costruire una variabile aleatoria avente funzione di distribuzione F.

Visto il punto a) direi che qui basta prendere una $Z=F^(-1)(U)$
però ora, F^(-1) è definita solo su [0, 1]..ciò non mi causa alcun problema, vero?


poi ancora (ma non finisce maii!!)

d) Provare che $X:= -ln(U)/lambda$ è distribuita esponenzialmente con parametro $lambda$

[_nicola de rosa]

"celeste":Parfait, capito!
Invece per il punto b), sono arrivata all'avere
$P(Z devo quindi derivare $P(Z
Poi ci sono un po' di altri punti...

c) Sia U una variabile aleatoria distribuita uniformamente su [0,1] e $F(t):=1-e^(-lambda t)$ con $lambda>0$
Costruire una variabile aleatoria avente funzione di distribuzione F.

Visto il punto a) direi che qui basta prendere una $Z=F^(-1)(U)$
però ora, F^(-1) è definita solo su [0, 1]..ciò non mi causa alcun problema, vero?


poi ancora (ma non finisce maii!!)

d) Provare che $X:= -ln(U)/lambda$ è distribuita esponenzialmente con parametro $lambda$

Per il punto d) applichi sempre il teorema di trasformazione delle v.a:si ha $f_X(x)= [(f_U(u))/(|g'(u)|)]_(u=g^(-1)(x))$

La trasformazione è $g(u)= -ln(u)/lambda$ e poichè $u in (0,1)$ allora $x>=0$

Ora $g'(u)=-1/(lambda*u)$ con $u=e^(-lambda*x)$ per cui

$f_X(x)= [(1/(1/(lambda*u)))*u(x)]_(u=e^(-lambda*x))=lambda*e^(-lambda*x)*u(x)$ cioè $X=Exp(lambda)$