Funzione ripartizione e funzione densità
Ciao, io e il mio collega abbiamo provato a fare questo esercizio:
Sia $Y$ una v.a. con f.d. $f(y)=k/(1+y)^3 1_{RR^+}(y)$ e $k$ costante.
(1) Calcolare $k$, $E(Y)$, $Var(Y)$
(2) Determinare la f.r. di $Y$ e la f.d della v.a. $X=sqrt(Y)$
(3) Calcolare $E(X)$
Lo abbiamo svolto così a partire dal punto (1):
$\int_0^{oo} k/(1+y)^3 dy = k \int_0^{oo} 1/(1+y)^3 dy = k/2 = 1$ in quanto $f(y)$ è una f.d. quindi $k=2$
$E(Y)=\int_0^{oo} 2y/(1+y)^3 dy = 1$ (omettiamo tutti i passaggi. cmq svolto con l'integrazione per parti)
$Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2$
$E(Y^2)=\int_0^{oo} 2y^2/(1+y)^3 dy = oo$ (per sicurezza abbiamo controllato con un programma che fa gli integrali e ci è risultato giusto)
Quindi varianza non definita.
Per il punto (2) partendo dalla definizione di funzione di ripartizione abbiamo fatto:
$y<0$ allora $F(y)=0$
$y>0$ allora $F(y)=\int_0^y 2/(1+y)^3=1-1/(1+y)^2$
Sapendo che $X=sqrt(Y)$ allora $Y=X^2$ e la f.d. di X è $4x/(x^2+1)^3 1_{RR^+}$.
Per il punto (3) allora $E(X)=\int_0^{oo} 4x/(x^2+1)^3 dx = pi/4$
Cosa ne pensate? I nostri dubbi sono sulla correttezza della f.r. e della f.d. della X. Abbiamo anche provato a vedere se la f.d. della $X$ soddisfa la condizione che l'area sottesa sia uguale a $1$ e ci risulta però come si sa questo non vuol dire che quanto ottenuto sia giusto. Aspettiamo vostri pareri.
Sia $Y$ una v.a. con f.d. $f(y)=k/(1+y)^3 1_{RR^+}(y)$ e $k$ costante.
(1) Calcolare $k$, $E(Y)$, $Var(Y)$
(2) Determinare la f.r. di $Y$ e la f.d della v.a. $X=sqrt(Y)$
(3) Calcolare $E(X)$
Lo abbiamo svolto così a partire dal punto (1):
$\int_0^{oo} k/(1+y)^3 dy = k \int_0^{oo} 1/(1+y)^3 dy = k/2 = 1$ in quanto $f(y)$ è una f.d. quindi $k=2$
$E(Y)=\int_0^{oo} 2y/(1+y)^3 dy = 1$ (omettiamo tutti i passaggi. cmq svolto con l'integrazione per parti)
$Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2$
$E(Y^2)=\int_0^{oo} 2y^2/(1+y)^3 dy = oo$ (per sicurezza abbiamo controllato con un programma che fa gli integrali e ci è risultato giusto)
Quindi varianza non definita.
Per il punto (2) partendo dalla definizione di funzione di ripartizione abbiamo fatto:
$y<0$ allora $F(y)=0$
$y>0$ allora $F(y)=\int_0^y 2/(1+y)^3=1-1/(1+y)^2$
Sapendo che $X=sqrt(Y)$ allora $Y=X^2$ e la f.d. di X è $4x/(x^2+1)^3 1_{RR^+}$.
Per il punto (3) allora $E(X)=\int_0^{oo} 4x/(x^2+1)^3 dx = pi/4$
Cosa ne pensate? I nostri dubbi sono sulla correttezza della f.r. e della f.d. della X. Abbiamo anche provato a vedere se la f.d. della $X$ soddisfa la condizione che l'area sottesa sia uguale a $1$ e ci risulta però come si sa questo non vuol dire che quanto ottenuto sia giusto. Aspettiamo vostri pareri.
Risposte
Se i conti degli integrali sono corretti, l'esercizio mi sembra ben svolto.
Finalmente siamo riusciti a farlo tutto giusto. Grazie DajeForte per il tuo supporto quotidiano. Ci hai chiarito molti dubbi, o perlomeno io parlo a mio nome ma credo che per il mio collega valga la stessa cosa. 
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